QUBA – Finanzmathematik & Prognosestatistik in Excel

Status: GEPRÜFT (Prof-Gate, Nachprüfung 01.08.2026 — 8× BESTANDEN, „1,3 ERREICHT — klausurfertig“). Acht gelöste Aufgaben (64 P) aus dem Voll-Abdeckungs-Sweep.

Stand: 01.08.2026 · Klausur Mo 03.08.2026 · Papier, open book, 60 P./60 Min., nicht-programmierbarer Taschenrechner

Dieses Kapitel schließt acht Lücken aus der Abdeckungs-Matrix (Voll-Abdeckungs-Sweep 01.08.2026): L5 (interne Zinsfüße), L16 (Annuitätenfunktionen), L15 (Zinsusancen), L13 (TREND/PROGNOSE.LINEAR/RGP), L14 (gleitender Durchschnitt vs. exponentielle Glättung), L23 (Streudiagramm, KORREL, Trendlinientypen), die fünf im Content noch fehlenden Pflichtfunktionen der Liste 3.8 sowie L38 (BW() gegen NBW()). Zusammen 64 Punkte.

Was hier nicht wiederholt wird, und wo es steht. In excel-funktionen.md sind bereits gelöst: NBW(), XKAPITALWERT() und BW() im Rahmen der drei Geldgrößen, ZSATZINVEST(), XINTZINSFUSS() im eigenen Abschnitt sowie BRTEILJAHRE() in der CAGR-Passage und SUMMENPRODUKT() in den Abschnitten zu mehrfachbedingten Summen sowie in den Übungs- und Original-Klausuraufgaben. In abc-prognose.md — Kapitel ABC und Prognose — sind gelöst: PROGNOSE.LINEAR() als Prognoserechnung, PROGNOSE.ETS() mit allen drei Nebenfunktionen und HÄUFIGKEIT() in der Evaluationsaufgabe. Diese Stellen werden nur verwiesen, nicht nachgebaut.

Zwei bewusste Vertiefungen mit anderem Blickwinkel. PROGNOSE.LINEAR() erscheint hier trotzdem, nämlich in Aufgabe 4 — dort geht es nicht um die Prognoserechnung, sondern ausschließlich um die Abgrenzung zu TREND() und RGP(). Und HÄUFIGKEIT() erscheint in Aufgabe 7, weil sie als eine der zwanzig Pflichtfunktionen einen Syntax-Steckbrief braucht; die vertiefte Aufgabe zur Klassenwahl bleibt in ABC und Prognose.

Alle Zahlenbeispiele sind so gewählt, dass sie sich mit einem nicht-programmierbaren Taschenrechner in der Klausur nachrechnen lassen. Funktionsnamen durchgehend deutsch, Argumenttrenner ist das Semikolon ;.

1. Die drei internen Zinsfüße: IKV(), XINTZINSFUSS() und QIKV() (9 P)

a) 3 P. – Zweck und Syntax der drei Funktionen

IKV() gibt den einfachen internen Zinsfuß einer Investition zurück, also den Zinssatz, der für eine aus Auszahlungen und Einzahlungen bestehende Zahlungsreihe erreicht wird, wobei weder Finanzierungskosten noch Reinvestitionsgewinne berücksichtigt werden. Die Syntax lautet =IKV(Werte; [Schätzwert]). Das Argument Werte ist der Bezug auf die Zahlungsreihe, die mindestens einen negativen und einen positiven Wert enthalten muss und deren Zahlungen in der Reihenfolge stehen müssen, in der sie zeitlich anfallen; die Zahlungen dürfen unterschiedlich hoch sein, müssen aber in regelmäßigen Intervallen auftreten, weil die Funktion keine Datumsangaben kennt. Das Argument Schätzwert ist optional und gibt Excel einen Startwert für das iterative Näherungsverfahren; er wird gebraucht, wenn die Funktion #ZAHL! liefert oder ein unrealistisches Ergebnis ausgibt. ⟨1⟩

XINTZINSFUSS() gibt den internen Zinsfuß einer Reihe nicht periodisch anfallender Zahlungen zurück und ist damit die datumsgenaue Schwester von IKV(). Die Syntax lautet =XINTZINSFUSS(Werte; Daten; [Schätzwert]). Werte ist wieder die Zahlungsreihe mit mindestens einem Vorzeichenwechsel, wobei die erste Zahlung typischerweise die Anschaffungsauszahlung ist und dann negativ einzugeben ist; Daten — im Erläuterungstext der Folie „Zeitpunkte" genannt — ist die zugehörige Spalte echter Datumswerte, gegen die jede einzelne Zahlung auf Basis eines 365-Tage-Jahres abgezinst wird und die in beliebiger Reihenfolge stehen darf; Schätzwert hat dieselbe Rolle wie bei IKV(). Das Ergebnis ist genau der Zinssatz, für den XKAPITALWERT() null wird. Eine ausführlichere Behandlung der Funktion steht im Kapitel Excel-Funktionen. ⟨2⟩

QIKV() — ausgeschrieben „qualifizierter interner Kapitalverzinsungssatz", international als modifizierter interner Zinsfuß bekannt — gibt einen internen Zinsfuß zurück, bei dem positive und negative Zahlungsströme mit unterschiedlichen Zinssätzen bewertet werden. Die Syntax lautet =QIKV(Werte; Investition; Reinvestition). Werte ist die Zahlungsreihe in gleichlangen Perioden mit mindestens einem positiven und einem negativen Wert, wobei Text, Wahrheitswerte und leere Zellen ignoriert werden, eine ausdrückliche Null dagegen mitzählt; Investition ist der Zinssatz, zu dem die Auszahlungen finanziert werden; Reinvestition ist der Zinssatz, den die Einzahlungsüberschüsse bei Wiederanlage erbringen. ⟨3⟩

b) 3 P. – Zusammenhang zum Nettobarwert und das Nullstellenproblem

Der interne Zinsfuß ist definiert als derjenige Kalkulationszins, bei dem der Nettobarwert genau null wird; IKV() beantwortet also dieselbe Frage wie NBW(), nur umgekehrt herum: NBW() sucht den Barwert bei gegebenem Zins, IKV() sucht den Zins bei vorgegebenem Barwert null. Daraus folgt die Entscheidungsregel, dass eine Investition genau dann vorteilhaft ist, wenn ihr interner Zinsfuß über dem Kalkulationszins liegt — was bei einer Einzelinvestition zum selben Urteil führt wie ein positiver Kapitalwert. ⟨4⟩

Rechnerisch ist der interne Zinsfuß die Nullstelle eines Polynoms in der Abzinsungsvariablen, und ein Polynom n-ten Grades hat bis zu n Nullstellen. Excel löst das nicht analytisch, sondern iterativ und gibt nur die erstbeste gefundene Nullstelle aus — welche das ist, hängt vom Startwert und damit vom Argument Schätzwert ab. ⟨5⟩

Das Zahlenbeispiel dazu: Die Zahlungsreihe −1.000 / +2.600 / −1.650 (etwa eine Anlage mit hoher Rückbauverpflichtung am Ende) führt auf die Bedingung $-1.000 + \frac{2.600}{(1+r)} - \frac{1.650}{(1+r)^2} = 0$. Mit der Substitution $x = \frac{1}{1+r}$ entsteht die quadratische Gleichung $33x^2 - 52x + 20 = 0$ mit der Diskriminante $52^2 - 4 \cdot 33 \cdot 20 = 2.704 - 2.640 = 64$ und damit den beiden Lösungen $x_1 = \frac{52+8}{66} = 0{,}909091$ und $x_2 = \frac{52-8}{66} = 0{,}666667$. Rückgerechnet ergibt das zwei interne Zinsfüße, nämlich 10,00 % und 50,00 %. Beide erfüllen die Definition exakt — die Probe für 10 % lautet $-1.000 + 2.363{,}64 - 1.363{,}64 = 0{,}00$, die für 50 % lautet $-1.000 + 1.733{,}33 - 733{,}33 = 0{,}00$ —, und dennoch liefert IKV() nur eine der beiden Zahlen zurück. Wer sie ungeprüft in eine Entscheidungsvorlage schreibt, behauptet eine Eindeutigkeit, die es nicht gibt. ⟨6⟩

c) 3 P. – Die Wiederanlageprämisse und ihre Aufhebung durch QIKV()

IKV() unterstellt stillschweigend, dass alle zwischenzeitlich zurückfließenden Einzahlungsüberschüsse bis zum Laufzeitende zum internen Zinsfuß selbst wiederangelegt werden können. Genau das ist die Wiederanlageprämisse, und sie ist unrealistisch: Bei einer rechnerisch attraktiven Investition mit 30 % internem Zinsfuß müsste das Unternehmen jeden Rückfluss erneut zu 30 % anlegen können — hätte es solche Anlagen beliebig verfügbar, wäre die Ausgangsinvestition keine besondere Gelegenheit mehr. ⟨7⟩

QIKV() hebt diese Prämisse auf, indem es die beiden Seiten der Zahlungsreihe trennt: Die Auszahlungen werden mit dem tatsächlichen Finanzierungszins auf den Anfangszeitpunkt abgezinst, die Einzahlungen mit dem tatsächlich erzielbaren Wiederanlagezins auf den Endzeitpunkt aufgezinst, und aus dem Verhältnis beider Endgrößen wird die durchschnittliche Verzinsung gezogen. ⟨8⟩

Das Zahlenbeispiel: Für die Reihe −1.000 / +600 / +600 liefert =IKV(…) den einfachen internen Zinsfuß. Aus $600x^2 + 600x - 1.000 = 0$, also $3x^2 + 3x - 5 = 0$, folgt $x = \frac{-3+\sqrt{69}}{6} = \frac{-3+8{,}306624}{6} = 0{,}884437$ und daraus $1+r = 1{,}130662$, mithin IKV = 13,07 % (Probe: $530{,}66 + 469{,}34 = 1.000{,}00$). Rechnet man dieselbe Reihe mit =QIKV(Werte; 5%; 3%), also mit 5 % Finanzierungszins und nur 3 % erzielbarem Wiederanlagezins, ergibt sich der Endwert der Einzahlungen zu $600 \cdot 1{,}03 + 600 = 1.218{,}00$ und der Barwert der Auszahlungen zu $1.000{,}00$; über zwei Perioden folgt $\sqrt{1{,}218} - 1 = 1{,}103630 - 1$ und damit QIKV = 10,36 %. Die realistischere Wiederanlageannahme kostet also 2,70 Prozentpunkte — exakt $13{,}0662\,\% - 10{,}3630\,\% = 2{,}7032$; wer die gerundeten Anzeigewerte subtrahiert, landet bei 2,71 und hat damit nur eine Rundungsdifferenz erwischt. Genau um diesen Betrag überzeichnet IKV() die Vorteilhaftigkeit systematisch. ⟨9⟩

Rohleders Erwartung: Er will die Kette „interner Zinsfuß = Nullstelle des Kapitalwerts = Polynomproblem = iterative Näherung = Schätzwert" als einen Gedankengang sehen, nicht als vier auswendig gelernte Sätze. Und er will hören, dass QIKV() nicht „genauer" ist, sondern eine andere Annahme trifft — wer die Wiederanlageprämisse nicht benennt, hat die Funktion nicht verstanden.

2. Die Annuitätenfunktionen und das Argument F (9 P)

a) 3 P. – Die sieben Funktionen und ihre Leitfragen

Die Frage nach der Höhe der Zahlung — „Wie hoch ist meine Rate?" — beantwortet RMZ(), die regelmäßige Zahlung, also die Annuität. Die Frage nach der Länge — „Wie lange läuft die Finanzierung?" — beantwortet ZZR(), die Anzahl der Zahlungszeiträume. Die Frage nach dem Barwert — „Was ist die Zahlungsreihe heute wert?" — beantwortet BW(). Die Frage nach dem Zinssatz — „Welcher Zins steckt in dem Angebot?" — beantwortet ZINS(). ⟨1⟩

Dazu treten drei weitere Funktionen derselben Familie: ZW() liefert den zukünftigen Wert, also das Endkapital nach der letzten Zahlung; KAPZ() liefert für eine einzelne Periode den Tilgungsanteil der Rate, also die Kapitalrückzahlung; ZINSZ() liefert für dieselbe Periode den Zinsanteil. ⟨2⟩

Die Familie bildet ein geschlossenes System: Zins, Laufzeit, Rate, Barwert und Zukunftswert sind fünf Größen, die über eine einzige finanzmathematische Gleichung verbunden sind — kennt man vier davon, berechnet die passende Funktion die fünfte. KAPZ() und ZINSZ() zerlegen die von RMZ() gelieferte Rate zusätzlich in ihre beiden Bestandteile, deren Summe wieder die Rate ergibt. Die gemeinsame Voraussetzung der ganzen Familie sind homogene Perioden und homogene Zahlungshöhen; sobald die Zahlungen unterschiedlich hoch sind oder unregelmäßig fließen, ist der Zuständigkeitsbereich von NBW() und XKAPITALWERT() erreicht (siehe Kapitel Excel-Funktionen). ⟨3⟩

b) 3 P. – Syntax und Argumentkürzel

⟨4⟩

Die Kürzel bedeuten im Einzelnen: Zins ist der Zinssatz je Periode und nicht etwa der Jahreszins — bei monatlicher Zahlung ist also durch zwölf zu teilen. Zzr ist die Anzahl der Zahlungszeiträume über die gesamte Laufzeit, bei monatlicher Zahlung also Jahre mal zwölf. Rmz ist die regelmäßige Zahlung, die Annuität, die über die ganze Laufzeit konstant ist. Bw ist der Barwert, also der heutige Gesamtwert der Zahlungsreihe beziehungsweise die ausgezahlte Darlehenssumme. Zw ist der zukünftige Wert, also der nach der letzten Zahlung verbleibende Betrag; wird das Argument weggelassen, unterstellt Excel null, was bei einem vollständig getilgten Darlehen der Normalfall ist. Zr kommt nur bei KAPZ() und ZINSZ() vor und bezeichnet die einzelne Periode, für die Tilgungs- beziehungsweise Zinsanteil berechnet werden sollen; sie muss zwischen 1 und Zzr liegen. ⟨5⟩

Die eckigen Klammern kennzeichnen optionale Argumente und werden nicht mitgetippt. Zu beachten ist außerdem, dass die Argumentreihenfolge zwischen den Funktionen wechselt: Bei BW() steht Rmz an dritter Stelle, bei RMZ() steht dort Bw, und ZINS() beginnt überhaupt nicht mit dem Zins, weil dieser ja das gesuchte Ergebnis ist. Wer die Reihenfolge rät statt sie zu lesen, erhält ein plausibel aussehendes, aber falsches Ergebnis ohne jede Fehlermeldung. ⟨6⟩

c) 3 P. – Argument F, Vorzeichenmodell und Zahlenbeispiel

Das Argument F steuert die Fälligkeit innerhalb der Periode: F = 0 bedeutet nachschüssige Zahlung am Ende der Periode und ist der Standardwert, der auch gilt, wenn das Argument weggelassen wird; F = 1 bedeutet vorschüssige Zahlung zu Beginn der Periode. Die Unterscheidung ist keine Formalie, denn eine vorschüssige Zahlung steht dem Zahlungsempfänger eine ganze Periode früher zur Verfügung und wird deshalb um genau einen Zinsfaktor $(1+i)$ günstiger. Klassische Mietverträge und Leasingraten sind vorschüssig, klassische Annuitätendarlehen und Sparraten nachschüssig — wer hier den Standardwert stehen lässt, obwohl der Vertrag es anders regelt, rechnet den Vertrag falsch. ⟨7⟩

Das Vorzeichenmodell ist der zweite konsistent zu haltende Punkt: Alle Funktionen der Familie rechnen aus der Sicht einer Partei, und Geld, das diese Partei hergibt, ist negativ, Geld, das sie erhält, ist positiv. Wer eine Darlehenssumme als positiven Barwert eingibt, erhält deshalb eine negative Rate — das ist kein Fehler, sondern die konsequente Zahlungsrichtung. Werden Vorzeichen dagegen gemischt gesetzt, liefern ZINS() und ZZR() entweder #ZAHL! oder wirtschaftlich unsinnige Ergebnisse. ⟨8⟩

Das Zahlenbeispiel: Ein Darlehen über 200.000,00 € bei 3,00 % p. a. und 20 Jahren Laufzeit. Nachschüssig gilt $\text{RMZ} = 200.000 \cdot \frac{0{,}03}{1 - 1{,}03^{-20}}$; mit $1{,}03^{20} = 1{,}806111$ und damit $1{,}03^{-20} = 0{,}553676$ folgt $\text{RMZ} = \frac{6.000}{0{,}446324} =$ 13.443,14 € pro Jahr. Vorschüssig, also mit F = 1, ist derselbe Betrag durch $1{,}03$ zu teilen und ergibt 13.051,59 € — eine Differenz von 391,55 € jährlich oder 7.830,96 € über die Laufzeit ($20 \cdot 391{,}5478$; mit der bereits gerundeten Jahresdifferenz gerechnet ergäben sich 7.831,00 €), allein aus dem Fälligkeitszeitpunkt. Die Zerlegung der ersten nachschüssigen Rate liefert ZINSZ() mit $200.000 \cdot 0{,}03 =$ 6.000,00 € und KAPZ() mit $13.443{,}14 - 6.000{,}00 =$ 7.443,14 €; in der zweiten Periode sinkt der Zinsanteil auf $192.556{,}86 \cdot 0{,}03 =$ 5.776,71 € und der Tilgungsanteil steigt spiegelbildlich auf 7.666,44 €, was genau dem mit $1{,}03$ aufgezinsten Vorjahrestilgungsanteil entspricht — ungerundet $7.443{,}1415 \cdot 1{,}03 = 7.666{,}4358$. Wer die Probe mit den bereits auf zwei Stellen gerundeten Zwischenwerten rechnet, landet bei 7.666,43 €; der eine Cent ist reine Rundungsdifferenz und in der Klausur beides vertretbar, solange die Rechenkette sichtbar ist. ⟨9⟩

Rohleders Erwartung: Er fragt die Familie über die Leitfrage ab, nicht über die Funktionsnamen — „Wie hoch ist die Rate?" muss unmittelbar RMZ() auslösen. Beim Argument F genügt „0 = nachschüssig, 1 = vorschüssig" nicht; er will die betriebswirtschaftliche Folge hören, dass eine Periode früher gezahltes Geld eine Verzinsung mehr wert ist, am liebsten mit dem Mietvertrag als Beispiel.

3. Zinsusancen und das Argument Basis (8 P)

a) 3 P. – Die fünf Zählweisen des Arguments Basis

BRTEILJAHRE() wandelt die Anzahl ganzer Tage zwischen einem Ausgangs- und einem Enddatum in Bruchteile von Jahren beziehungsweise Perioden um und braucht dafür eine Konvention, wie Tage überhaupt zu zählen sind. Die Syntax lautet =BRTEILJAHRE(Ausgangsdatum; Enddatum; [Basis]), und das optionale dritte Argument nimmt fünf Werte an: ⟨1⟩

⟨2⟩

Inhaltlich stehen sich zwei Denkweisen gegenüber. Die 30/360-Familie (Basis 0 und 4) unterstellt kaufmännisch vereinfachend, dass jeder Monat dreißig und jedes Jahr dreihundertsechzig Tage hat; sie stammt aus der Zeit vor der maschinellen Rechnung, macht jeden Monat gleich lang und ist deshalb bis heute im deutschen Kreditgeschäft verbreitet. Die actual-Familie (Basis 1, 2 und 3) zählt die tatsächlichen Kalendertage im Zähler und unterscheidet sich nur im Nenner: Basis 1 setzt die tatsächliche Jahreslänge an und berücksichtigt damit Schaltjahre, Basis 2 rechnet gegen 360 Tage und erzeugt dadurch systematisch höhere Zinsen, Basis 3 rechnet gegen 365. Basis 0 und Basis 4 unterscheiden sich nur in der Behandlung des Monatsletzten und liefern in den meisten Konstellationen identische Ergebnisse. ⟨3⟩

b) 3 P. – Die Voreinstellungen von NBW() und XKAPITALWERT() und ihre Wirkung

NBW() unterstellt die Zählweise Basis 0, also 30/360 amerikanisch, weil es überhaupt keine Datumsangaben verarbeitet, sondern nur gleich lange Perioden zählt. XKAPITALWERT() unterstellt dagegen fest die Zählweise Basis 3, also actual/365, weil es jede Zahlung datumsgenau gegen ein starres 365-Tage-Jahr abzinst — auch dann, wenn ein Schaltjahr im Zeitraum liegt. Beide Funktionen haben kein Basis-Argument; die Konvention ist in der Funktionswahl bereits mitentschieden, und wer die Funktion wechselt, wechselt unbemerkt auch die Zinsusance. ⟨4⟩

Das Zahlenbeispiel: Ein Kapital von 100.000,00 € wird zu 5,00 % p. a. vom 15.03.2026 bis zum 30.09.2026 verzinst. Taggenau liegen zwischen den beiden Terminen 199 Tage — 16 Resttage im März, dann 30 + 31 + 30 + 31 + 31 für April bis August und schließlich 30 im September; die Gegenprobe über die Tagesnummern im Jahr lautet $273 - 74 = 199$. Nach der 30/360-Konvention sind es dagegen $6 \cdot 30 + (30 - 15) =$ 195 Tage. Daraus ergeben sich die folgenden Zinsbeträge: ⟨5⟩

Zwischen der niedrigsten und der höchsten Zählweise liegen 55,56 € oder rund 2,05 % des niedrigsten Zinsbetrags — bezogen auf den höchsten sind es 2,01 % — bei identischem Kapital, identischem Zinssatz und identischem Zeitraum. Hochgerechnet auf ein Portfolio von hundert solchen Positionen sind das über 5.500,00 € Abweichung, für die es keine inhaltliche Ursache gibt, sondern nur eine Konventionsdifferenz. Genau das meint Rohleder mit der „häufigsten Erklärung für unerwartete Ergebnisabweichungen". ⟨6⟩

c) 2 P. – Handlungsempfehlung

Im Unternehmen ist ein verbindlicher Standard für die Zinsusance zu definieren und zu kommunizieren, und zwar ausdrücklich und schriftlich, nicht implizit über die zufällige Wahl einer Excel-Funktion. Rohleders Beobachtung ist, dass die Festlegung in der Praxis meist stillschweigend erfolgt — jemand nimmt NBW(), und damit ist Basis 0 gesetzt, ohne dass es jemals jemand entschieden hätte. Die Festlegung gehört deshalb in die Parameterzelle eines Parameter-Blatts und in den Anwendungssteckbrief der Arbeitsmappe, damit jeder spätere Bearbeiter sie sieht. ⟨7⟩

Für die Wahl selbst gilt die Rangfolge: Maßgeblich ist erstens der Vertragstext, weil die Bank die im Vertrag vereinbarte Usance abrechnet und jede abweichende Modellrechnung schlicht falsch ist; zweitens die branchenübliche Konvention des jeweiligen Marktes, im Euro-Geldmarkt also actual/360; und erst drittens die kalendarische Plausibilität. Der Satz „Was ist der wahre Wert?" hat also keine mathematische, sondern eine vertragsrechtliche Antwort — und wo mehrere Modelle in einem Unternehmen nebeneinander laufen, ist die Usance in jedem Modell zu dokumentieren, damit Abweichungen zwischen zwei Auswertungen erklärbar bleiben. ⟨8⟩

Rohleders Erwartung: Die fünf Zeilen der Basis-Tabelle sind reines Auswendigwissen und werden auch so bepunktet. Die eigentliche Frage ist Teil c): Er will hören, dass der Standard entschieden und kommuniziert werden muss und dass die stillschweigende Festlegung über die Funktionswahl der Normalfall und zugleich der Fehler ist. Wer den Vertragstext als erste Instanz nennt, hat den Kern.

4. TREND(), PROGNOSE.LINEAR() und RGP() im Vergleich (8 P)

a) 4 P. – Die drei Funktionen im Vergleich

Alle drei Funktionen legen dieselbe Regressionsgerade durch dieselben Daten und liefern deshalb, soweit sie dieselbe Frage beantworten, identische Zahlen; sie unterscheiden sich nicht in der Methode, sondern in Umfang und Form der Ausgabe. ⟨1⟩

PROGNOSE.LINEAR() berechnet einen einzelnen y-Wert auf der Regressionsgeraden für einen vorgegebenen x-Wert und kennt genau eine Ursache. Die Syntax lautet =PROGNOSE.LINEAR(x; YWerte; XWerte); das Ergebnis steht in einer Zelle, es liegt keine Matrixformel vor. Die Funktion ist damit der Standardfall für den schnellen Forecast einer einzelnen Folgeperiode. ⟨2⟩

TREND() berechnet dieselben Werte, kann aber mehrere y-Werte gleichzeitig liefern und dabei mehrere Ursachen — im Controlling-Sprachgebrauch mehrere Kostentreiber — berücksichtigen. Die Syntax lautet =TREND(YWerte; [XWerte]; [Neue_x_Werte]; [Konstante]); die Funktion ist eine Matrixformel und läuft in aktuellen Excel-Versionen als dynamische Matrix in den benötigten Bereich über. Der einzige Unterschied zu PROGNOSE.LINEAR() bei nur einer Ursache und einer Periode ist die andere Argumentreihenfolge. ⟨3⟩

RGP() — englisch LINEST — berechnet ebenfalls mehrere Werte für mehrere Ursachen als Matrixformel, gibt aber zusätzlich die Kenngrößen und Statistiken der Regression aus: die Steigungskoeffizienten je Ursache und den Achsenabschnitt, dazu auf Wunsch das Bestimmtheitsmaß, die Standardfehler der Koeffizienten, den F-Wert und die Freiheitsgrade sowie die Quadratsummen. Die Syntax lautet =RGP(YWerte; [XWerte]; [Konstante]; [Stats]), wobei das vierte Argument Stats auf WAHR zu setzen ist, damit die Zusatzstatistiken überhaupt erscheinen. ⟨4⟩

Zusammengefasst als Entscheidungstabelle:

b) 2 P. – Zahlenbeispiel und Prognose

Gegeben sei der Monatsumsatz in Tausend Euro für die Monate 1 bis 5 mit den Werten 100, 118, 131, 149 und 162. Mit $\bar{x} = 3$ und $\bar{y} = 132$ ergibt sich die Steigung aus $\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum (x-\bar{x})^2} = \frac{155}{10} =$ 15,50 und der Achsenabschnitt aus $132 - 15{,}50 \cdot 3 =$ 85,50. Die Geradengleichung lautet damit $\hat{y} = 85{,}50 + 15{,}50x$; die Gegenprobe über die Summenformel bestätigt sie, denn $\frac{5 \cdot 2.135 - 15 \cdot 660}{5 \cdot 55 - 225} = \frac{775}{50} = 15{,}50$. ⟨5⟩

Für den sechsten Monat liefern sowohl =PROGNOSE.LINEAR(6; B2:B6; A2:A6) als auch =TREND(B2:B6; A2:A6; 6) denselben Wert $85{,}50 + 15{,}50 \cdot 6 =$ 178,50 T€; für den siebten Monat ergibt sich 194,00 T€. Das zugehörige Bestimmtheitsmaß beträgt $R^2 = 1 - \frac{7{,}50}{2.410} =$ 0,9969, die Anpassung ist also sehr gut — und genau dieses Maß ist vor jeder Prognose zu prüfen und mit auszuweisen, weil eine Regressionsgerade sich auch durch eine völlig strukturlose Punktwolke legen lässt. ⟨6⟩

c) 2 P. – Wann RGP() erforderlich ist

RGP() wird zwingend gebraucht, sobald die Güte und die Struktur der Regression selbst berichtet werden sollen und nicht nur der Prognosewert. Weder PROGNOSE.LINEAR() noch TREND() geben eine einzige Kennzahl darüber aus, wie belastbar ihr Ergebnis ist; sie liefern auch dann eine glatte Zahl, wenn die Daten überhaupt keinen linearen Zusammenhang zeigen. Wer eine Prognose in eine Entscheidungsvorlage schreibt, muss Bestimmtheitsmaß und Standardfehler mitliefern — und die kommen aus RGP() mit Stats = WAHR oder ersatzweise aus dem Bestimmtheitsmaß der Trendlinie im Diagramm. ⟨7⟩

Der zweite zwingende Fall ist die Mehrfachregression mit einer Kostenursachenanalyse: Sollen etwa die Gesamtkosten gleichzeitig auf Produktionsmenge, Rüstvorgänge und Auftragszahl zurückgeführt werden, braucht man je Kostentreiber einen eigenen Koeffizienten samt Standardfehler, um beurteilen zu können, welcher Treiber überhaupt erklärungsstark ist. TREND() rechnet die Mehrfachregression zwar mit, gibt die Koeffizienten aber nicht heraus, sondern nur die damit erzeugten Prognosewerte. Für die einfache Kostenspaltung in Fixkosten und variable Stückkosten genügen dagegen weiterhin ACHSENABSCHNITT() und STEIGUNG() (siehe Kapitel Excel-Funktionen). ⟨8⟩

Rohleders Erwartung: Er hat für diesen Vergleich eine eigene Tabelle im Skript, und genau deren vier Zeilen — Ursachenzahl, Prognoseperioden, Matrixformel, Statistiken — will er als Raster sehen. Die Pointe, auf die er hinauswill: Die drei Funktionen rechnen dasselbe, sie geben nur unterschiedlich viel heraus. Wer schreibt, RGP() sei „genauer", hat die Frage verfehlt.

5. Gleitender Durchschnitt und exponentielle Glättung als Methode (8 P)

a) 3 P. – Gemeinsame Annahmen und methodischer Unterschied

Beide Verfahren beruhen auf drei gemeinsamen Annahmen. Erstens wird unterstellt, dass der künftige Wert maßgeblich von den aktuellen und vergangenen Werten derselben Reihe bestimmt wird, dass also die Reihe sich selbst erklärt und keine externe Ursache herangezogen werden muss. Zweitens wird unterstellt, dass der Einfluss eines Wertes umso schwächer ist, je weiter er in der Vergangenheit liegt. Drittens setzen beide eine Stichprobe periodischer Vergangenheitsdaten voraus, also eine echte Zeitreihe mit gleichen Abständen. ⟨1⟩

Der einfache gleitende Durchschnitt n-ter Ordnung ist die Folge der arithmetischen Mittelwerte der jeweils letzten n Datenpunkte. Er gewichtet die einbezogenen Werte alle gleich und lässt alles außerhalb des Fensters vollständig weg — die Abnahme des Einflusses ist also ein harter Abschnitt und keine Abstufung. Die Fensterbreite n ist die einzige Stellschraube: Ein kleines Fenster reagiert schnell, glättet aber wenig, ein großes Fenster glättet stark, reagiert aber träge. ⟨2⟩

Der exponentiell geglättete Mittelwert ordnet den Datenpunkten dagegen exponentiell abnehmende Gewichte zu und bezieht dabei grundsätzlich die gesamte Vergangenheit ein, nur mit immer kleinerem Gewicht. Die aktuellsten Daten werden am höchsten gewichtet, und zwar noch stärker als beim gewichteten gleitenden Mittelwert. Die Rekursionsformel lautet $S_t = \alpha y_t + (1-\alpha) S_{t-1}$; der Glättungsparameter Alpha liegt zwischen null und eins und steuert dieselbe Abwägung wie die Fensterbreite: Ein großes Alpha reagiert schnell auf Änderungen, ein kleines glättet stärker. Für die einfache exponentielle Glättung kennt Excel keine eigene Tabellenblattfunktion, sondern nur das Analyse-Funktionen-Add-In; seit Version 2016 steht mit PROGNOSE.ETS() die exponentielle Dreifachglättung zur Verfügung, die mehr leistet als die hier beschriebene Grundform — siehe ⟨+2⟩. ⟨3⟩

b) 3 P. – Zwei Vorteile und zwei Nachteile

Erster Vorteil: Die Überalterung der Messwerte wird ausgeglichen. Beide Verfahren gewichten Aktuelles höher als Altes und lassen damit veraltete Niveaus automatisch aus der Prognose herauswachsen, ohne dass jemand die Historie manuell kürzen müsste. ⟨4⟩

Zweiter Vorteil: Die Genauigkeit der Vorhersage steigt in den typischen Anwendungsfeldern spürbar, namentlich in der Bedarfs-, Bestands- und Bestellrechnung. Zufällige Ausschläge einzelner Perioden werden herausgemittelt, sodass die Disposition nicht auf Rauschen reagiert; das ist der klassische Einsatz in der Lagerhaltung. Hinzu kommt, dass beide Verfahren mit sehr wenig Vorwissen auskommen — es braucht keine erklärende Variable, nur die eigene Historie. ⟨5⟩

Erster Nachteil: Es ist eine geeignete Datenbasis erforderlich, nämlich eine ausreichend lange, lückenlose und periodisch erfasste Zeitreihe. Fehlen Perioden oder wechselt die Erfassungslogik, glättet das Verfahren einen Bruch, den es eigentlich melden müsste. Zweiter Nachteil: Liegt ein Trend vor, hinken die Prognosen diesem Trend systematisch hinterher, und zwar umso stärker, je stärker geglättet wird; die Prognose ist zudem konstant, das heißt sie schreibt das geglättete Niveau fort und entwickelt von sich aus keine Richtung. Genau deshalb gilt die Einsatzempfehlung, beide Verfahren nur dort zu verwenden, wo kein systematisches Muster und kein Trend — weder exponentiell noch linear noch polynomisch — erkennbar ist; wo ein Trend erkennbar ist, gehört die Regression hin. ⟨6⟩

c) 2 P. – Zahlenbeispiel zum Nachlaufen

Gegeben sei eine Absatzreihe mit einem sauberen linearen Trend von zehn Stück je Periode: 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170. Der wahre Wert der neunten Periode wäre 180,00 Stück. ⟨7⟩

Der gleitende Durchschnitt dritter Ordnung über die letzten drei Werte liefert $\frac{150+160+170}{3} =$ 160,00 Stück und liegt damit 20,00 Stück unter dem wahren Wert. Die exponentielle Glättung mit $\alpha = 0{,}30$ und dem Startwert 100,00 liefert über die Rekursion die Folge 103,00 / 108,10 / 114,67 / 122,27 / 130,59 / 139,41 und schließlich 148,59 Stück, liegt also 31,41 Stück zu tief und nähert sich mit weiterer Laufzeit dem Grenzwert von $10 \cdot \frac{1-\alpha}{\alpha} + 10 = 33{,}33$ Stück Rückstand. Beide Prognosen sind bei sauberer Rechnung falsch, weil das Verfahren die falsche Frage beantwortet — es glättet ein Niveau, wo eine Steigung vorliegt. Für die unmittelbare Folgeperiode ist der Fehler noch vertretbar, für die übernächste wächst er bereits auf das Doppelte, und deshalb sind beide Verfahren ausdrücklich auf die Folgeperiode begrenzt: den Jahresbedarf des Folgejahrs aus den Vorjahresbedarfen, die Nachfrage des Folgemonats aus den Vormonaten — mehr nicht. ⟨8⟩

Rohleders Erwartung: Die Aufgabe ist nach seinem Folienraster gebaut — Annahmen, Verwendung, Vorteile, Nachteile —, und er erwartet die Antwort in genau dieser Ordnung. Der Satz, auf den es ihm ankommt, ist die Einsatzbedingung: beide Verfahren nur dann, wenn kein Trend und kein Muster erkennbar ist. Wer sie als allgemeines Prognosewerkzeug beschreibt, hat den entscheidenden Vorbehalt weggelassen.

6. Streudiagramm, KORREL() und die Trendlinientypen (8 P)

a) 3 P. – Streudiagramm und KORREL()

Das Streudiagramm trägt zwei Variablen gegeneinander ab und dient dem Auffinden eines Zusammenhangs sowie dem Ablesen seiner Richtung — positiv, wenn beide Variablen gemeinsam steigen, negativ, wenn die eine steigt, während die andere fällt. Sind die Daten unkorreliert, entsteht eine unsystematisch angeordnete Punktwolke ohne erkennbare Struktur. Rohleder nennt diese erste Sichtprüfung das „Augenintegral" und stellt sie ausdrücklich vor die eigentliche Prognose: Das Streudiagramm ist ein Hilfsmittel zur Entdeckung, nicht das Prognoseinstrument selbst. ⟨1⟩

Rechnerisch bestätigt wird der Eindruck mit KORREL(). Die Syntax lautet =KORREL(Matrix1; Matrix2); die Funktion liefert den Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson, dessen Wertebereich von −1 bis +1 reicht. Ein Wert von +1 bedeutet einen perfekten positiven linearen Zusammenhang, −1 einen perfekten negativen, und ein Wert um null bedeutet, dass kein linearer Zusammenhang besteht. ⟨2⟩

Das Zahlenbeispiel: Für ein Werbebudget von 10, 20, 30, 40 und 50 T€ und die zugehörigen Umsätze von 210, 240, 260, 300 und 315 T€ ergibt sich mit $\bar{x} = 30$ und $\bar{y} = 265$ die Kovarianzsumme $\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 1.100+250+0+350+1.000 = 2.700$, dazu $\sum (x-\bar{x})^2 = 1.000$ und $\sum (y-\bar{y})^2 = 7.400$. Damit ist $r = \frac{2.700}{\sqrt{1.000 \cdot 7.400}} = \frac{2.700}{2.720{,}29} =$ 0,9925, und das Bestimmtheitsmaß beträgt $r^2 = \frac{2.700^2}{1.000 \cdot 7.400} = \frac{729}{740} =$ 0,9851. Der Zusammenhang ist also sehr stark — was ausdrücklich nicht heißt, dass das Werbebudget den Umsatz verursacht. Korrelation ist ein Maß für den Gleichlauf zweier Reihen und kein Kausalitätsnachweis; beide Größen können gemeinsam von einer dritten Ursache getrieben sein, etwa vom allgemeinen Konjunkturverlauf, oder die Wirkungsrichtung kann umgekehrt sein, weil in umsatzstarken Jahren mehr Werbebudget freigegeben wird. ⟨3⟩

b) 3 P. – Die fünf Trendlinientypen

Excel bietet fünf Typen von Trendlinien an, die jeweils eine andere Verlaufshypothese über die Daten formulieren. ⟨4⟩

Die lineare Trendlinie unterstellt einen konstanten absoluten Zuwachs je Periode und hat die Form $y = a + bx$; sie ist der Standardfall für Kosten- und Mengenverläufe. Die exponentielle Trendlinie unterstellt eine konstante prozentuale Wachstumsrate und hat die Form $y = a \cdot e^{bx}$; sie passt zu Zinseszins- und Verbreitungsprozessen und setzt durchweg positive Werte voraus. Die logarithmische Trendlinie bildet einen anfangs steilen und dann schnell abflachenden Verlauf ab und passt zu Sättigungs- und Lernkurven. Die Potenz-Trendlinie unterstellt einen konstanten Elastizitätszusammenhang der Form $y = a \cdot x^b$ und passt zu Skalen- und Erfahrungskurveneffekten. Die polynomische Trendlinie schließlich lässt Wendepunkte zu, ihre Ordnung gibt an, wie viele Krümmungswechsel die Kurve nehmen darf. ⟨5⟩

Zu bevorzugen ist die lineare Trendlinie, und Rohleders Begründung dafür steht wörtlich auf der Folie: Sie ist „mathematisch einfach und daher zu bevorzugen". Der Vorzug ist also kein statistischer, sondern ein Kommunikations- und Robustheitsargument — eine Gerade lässt sich jedem Gremium in einem Satz erklären, ihre beiden Parameter haben eine unmittelbare betriebswirtschaftliche Bedeutung als Fixkosten und variable Stückkosten, und sie lässt sich mit ACHSENABSCHNITT(), STEIGUNG() und PROGNOSE.LINEAR() jederzeit außerhalb des Diagramms nachrechnen. Als sechster Eintrag steht in derselben Auswahl der gleitende Durchschnitt, der aber streng genommen keine Trendlinie ist, weil er keine Funktionsgleichung liefert und deshalb auch nicht extrapoliert werden kann. Unabhängig vom gewählten Typ gehört das Bestimmtheitsmaß eingeblendet, weil erst dieses die Anpassungsgüte belegt. ⟨6⟩

c) 2 P. – Warum Polynome ab dem vierten Grad ungeeignet sind

Ein Polynom höheren Grades hat so viele freie Parameter, dass es sich der Punktwolke nahezu beliebig gut anschmiegen kann; das Bestimmtheitsmaß steigt mit jedem zusätzlichen Grad und erreicht bei genügend hohem Grad den Wert eins. Was dabei angepasst wird, ist aber nicht mehr die Struktur der Daten, sondern deren Zufallsschwankung — die Kurve lernt das Rauschen mit. Ein hohes Bestimmtheitsmaß ist bei Polynomen deshalb gerade kein Qualitätsbeleg, sondern ein Warnsignal. ⟨7⟩

Entscheidend ist die Folge für die Extrapolation, und die Prognose ist nichts anderes als Extrapolation: Außerhalb des beobachteten Wertebereichs steigt oder fällt ein Polynom hohen Grades explosionsartig und kann schon nach wenigen Perioden negative Umsätze oder physikalisch unmögliche Mengen ausgeben. Innerhalb der Daten sieht die Kurve perfekt aus, unmittelbar dahinter läuft sie aus dem Bild. Deshalb gilt Rohleders ausdrückliche Warnung, dass sich Polynome spätestens ab dem vierten Grad nicht für Prognosen eignen — sie sind zur Beschreibung eines beobachteten Verlaufs zulässig, nicht zu dessen Fortschreibung. ⟨8⟩

Rohleders Erwartung: Zwei Dinge trägt er in dieser Frage: erstens, dass das Streudiagramm der Entdeckung dient und nicht der Prognose, zweitens den Vorrang der linearen Trendlinie mit seiner eigenen Begründung „mathematisch einfach". Und er hört sehr genau hin, ob eine hohe Korrelation als Kausalität ausgegeben wird — das ist seine Standardfalle in dieser Aufgabengruppe.

7. Fünf Pflichtfunktionen aus dem Stegreif (10 P)

1. HÄUFIGKEIT() — 2 P.

Zweck. HÄUFIGKEIT() zählt, wie viele Werte einer Datenreihe in vorgegebene Klassen fallen, und liefert damit die Häufigkeitsverteilung hinter einer Kennzahl. Sie ist das Gegenmittel gegen den allein berichteten Mittelwert, weil erst die Verteilung zeigt, ob dieser Mittelwert eine typische Mitte oder das Resultat zweier Extremgruppen ist. ⟨1⟩

Syntax. =HÄUFIGKEIT(Daten; Klassen). Das Argument Daten ist der Vektor der auszuwertenden Werte, sinnvollerweise als strukturierter Verweis auf eine Tabellenspalte. Das Argument Klassen ist der Vektor der oberen Klassengrenzen; es ist stets eine Grenze weniger anzugeben, als Ausgabezellen entstehen, weil die letzte Zelle alle Werte oberhalb der höchsten Grenze aufnimmt. HÄUFIGKEIT() ist eine Matrixfunktion und läuft in aktuellen Versionen als dynamische Matrix über; steht im benötigten Bereich bereits etwas, quittiert Excel mit #ÜBERLAUF!. Beispiel: Für die Werte 12, 25, 31, 44, 58 und 63 und die Klassen 20, 40 und 60 liefert =HÄUFIGKEIT(A2:A7; C2:C4) die vier Werte 1 / 2 / 2 / 1, deren Summe die sechs Datensätze wieder ergibt. Die vertiefte Aufgabe zur Klassenwahl steht im Kapitel ABC und Prognose. ⟨2⟩

2. STABW.N() — 2 P.

Zweck. STABW.N() berechnet die Standardabweichung einer Grundgesamtheit, also das mittlere Streuungsmaß, wenn die vorliegenden Werte die vollständige Population sind und keine Stichprobe. Sie beantwortet die Frage, wie weit die Einzelwerte typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen, und ist damit die zweite Kennzahl, die neben jedem berichteten Mittelwert stehen muss. ⟨3⟩

Syntax. =STABW.N(Zahl1; [Zahl2]; …). Die Argumente sind die auszuwertenden Werte oder Bereiche, üblicherweise ein einziger Bereichsbezug; Text und Wahrheitswerte in einem Bezug werden ignoriert. Rechnerisch wird durch n geteilt. Das Gegenstück ist STABW.S() für die Stichprobe, das durch n − 1 teilt und deshalb stets einen größeren Wert liefert. Beispiel: Für die acht Werte 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 und 9 ist der Mittelwert 5,00 und die Summe der quadrierten Abweichungen 32; STABW.N() liefert $\sqrt{32/8} =$ 2,00, STABW.S() dagegen $\sqrt{32/7} =$ 2,14. Beide Funktionen stehen auch als Zusammenfassungsfunktionen in der Pivottabelle zur Verfügung, wo SUMME die Voreinstellung ist und bei Bewertungs- oder Notendaten regelmäßig in die Irre führt. ⟨4⟩

3. SUMMENPRODUKT() — 2 P.

Zweck. SUMMENPRODUKT() bildet das Skalarprodukt zweier gleich langer Vektoren: Es multipliziert die Elemente paarweise und summiert die Produkte in einem Schritt. Rohleder nennt sie deshalb „für Kaufleute den ungekrönten König der Tabellenblattfunktionen" — erst das Summenprodukt macht aus Preisen und Mengen einen Umsatz, und dieselbe Mechanik liefert Deckungsbeitrag, Gewinn, Kosten und Erlöse sowie Währungsumrechnungen. Sie ist zudem die bevorzugte Funktion des Excel-Solvers beim Aufbau von Zielfunktionen. ⟨5⟩

Syntax. =SUMMENPRODUKT(Matrix1; [Matrix2]; …). Die Argumente sind die zu verrechnenden Bereiche, die dieselbe Dimension haben müssen, weil Excel sonst #WERT! meldet. Beispiel: Für die Mengen 12, 8 und 15 und die Stückpreise 4,50 €, 12,90 € und 3,20 € liefert =SUMMENPRODUKT(B2:B4; C2:C4) den Umsatz $54{,}00 + 103{,}20 + 48{,}00 =$ 205,20 €. Für bedingte Summen und Zählungen wurde die Funktion früher mit Wahrheitswerten als 0/1-Faktoren zweckentfremdet; dafür sind heute SUMMEWENNS() und ZÄHLENWENNS() vorzuziehen. Die ausführliche Behandlung samt Bedingungslogik steht im Kapitel Excel-Funktionen; hier steht bewusst nur der Steckbrief einer der zwanzig Pflichtfunktionen. ⟨6⟩

4. BRTEILJAHRE() — 2 P.

Zweck. BRTEILJAHRE() — englisch YEARFRAC — wandelt die Anzahl ganzer Tage zwischen zwei Datumsangaben in Bruchteile von Jahren beziehungsweise Perioden um und liefert damit die Periodenanzahl, ohne die keine Zinsrechnung und keine CAGR auskommt. ⟨7⟩

Syntax. =BRTEILJAHRE(Ausgangsdatum; Enddatum; [Basis]). Ausgangsdatum und Enddatum müssen echte Datumswerte sein, kein Text; Basis wählt die Zinsusance und nimmt die Werte 0 bis 4 an (30/360 amerikanisch, actual/actual, actual/360, actual/365, 30/360 deutsch), wobei ohne Angabe Basis 0 gilt. Beispiel: =BRTEILJAHRE("15.03.2026"; "30.09.2026"; 3) liefert $199/365 =$ 0,5452, dieselbe Zeitspanne mit Basis 0 dagegen $195/360 =$ 0,5417. Die vollständige Behandlung der Usancen steht in Aufgabe 3 dieses Kapitels, die Anwendung auf die Periodenzahl der CAGR im Kapitel Excel-Funktionen. ⟨8⟩

5. ISOKALENDERWOCHE() — 2 P.

Zweck. ISOKALENDERWOCHE() gibt zu einem Datum die Kalenderwoche nach der ISO-8601-Norm zurück, also nach der in Deutschland und ganz Europa verbindlichen Zählung: Wochen beginnen am Montag, und die Woche eins ist diejenige, die den ersten Donnerstag des Jahres enthält — gleichbedeutend damit, dass sie mindestens vier Tage des neuen Jahres umfasst. Damit ist sie die richtige Funktion für jede Wochenauswertung in Produktion, Disposition und Reporting. ⟨9⟩

Syntax. =ISOKALENDERWOCHE(Datum). Das einzige Argument ist ein echter Datumswert. Abzugrenzen ist die ältere KALENDERWOCHE(Datum; [ZahlTyp]), deren zweites Argument den Wochenbeginn steuert und die in der Voreinstellung ZahlTyp = 1 amerikanisch rechnet, also mit Wochenbeginn am Sonntag und der Woche eins als derjenigen, die den 1. Januar enthält. Beispiel: Für den 01.01.2027, einen Freitag, liefert =ISOKALENDERWOCHE("01.01.2027") den Wert 53, weil der Tag noch zur letzten Woche des ISO-Jahres 2026 gehört — der erste Donnerstag 2027 ist der 7. Januar. =KALENDERWOCHE("01.01.2027") liefert dagegen 1. Wer in einem Jahreswechselbericht die falsche Funktion verwendet, verschiebt sämtliche Wochenaggregate und findet den Fehler erfahrungsgemäß erst im Folgejahr. ⟨10⟩

Rohleders Erwartung: Diese Aufgabe ist reine Beherrschung, und sie wird streng bepunktet: Funktionsname exakt, Argumente in der richtigen Reihenfolge, Semikolon als Trenner, eckige Klammern nur zur Kennzeichnung des Optionalen. Ein Anwendungsbeispiel mit konkreten Zahlen ist Pflicht — er will sehen, dass die Funktion benutzt und nicht nur gelesen wurde.

8. BW() gegen NBW() (4 P)

a) 2 P. – Die beiden Hauptunterschiede

Der erste Unterschied betrifft die Zahlungshöhen. BW() verlangt, dass die Zahlungen über die gesamte Laufzeit gleich hoch sind, weil es eine Rentenformel auswertet und die Rate als einen einzigen Parameter entgegennimmt. NBW() verarbeitet dagegen eine Werteliste mit beliebig unterschiedlichen Beträgen und zinst jede Zahlung einzeln ab. Wer also eine Zahlungsreihe mit schwankenden Rückflüssen hat — und das ist der Normalfall jeder realen Investition —, kann BW() nicht verwenden. ⟨1⟩

Der zweite Unterschied betrifft die Fälligkeit innerhalb der Periode. BW() kennt das Argument F und kann die Zahlungen daher wahlweise am Anfang oder am Ende der Periode ansetzen. NBW() kennt dieses Argument nicht, sondern zinst die erste übergebene Zahlung stets bereits um eine volle Periode ab, unterstellt also durchweg nachschüssige Zahlung; eine vorschüssige Reihe muss dort explizit modelliert werden, indem die erste Zahlung außerhalb der Funktion addiert oder das Ergebnis mit dem Zinsfaktor multipliziert wird. Aus demselben Grund gehört die Anschaffungsauszahlung bei NBW() außerhalb der Werteliste addiert, während sie bei XKAPITALWERT() in die erste Zeile der Liste gehört (siehe Kapitel Excel-Funktionen). ⟨2⟩

b) 2 P. – Warum BW() im Unternehmen selten nützlich ist

Das Zahlenbeispiel: Fünf gleich hohe nachschüssige Zahlungen von je 10.000,00 € bei einem Kalkulationszins von 4,00 % ergeben mit =BW(4%; 5; -10000) einen Barwert von 44.518,22 €. Die Gegenprobe durch Einzelabzinsung bestätigt den Wert: $9.615{,}38 + 9.245{,}56 + 8.889{,}96 + 8.548{,}04 + 8.219{,}27 = 44.518{,}21$. Der eine Cent Unterschied zur Rentenformel ist reine Rundung der fünf Einzelbarwerte — ungerundet summieren sie sich auf 44.518,2233 €, und es bleibt bei der Konvention, erst am Ende zu runden. Setzt man F = 1, liegen dieselben fünf Zahlungen jeweils eine Periode früher, und der Barwert steigt auf $44.518{,}22 \cdot 1{,}04 =$ 46.298,95 €, also um 1.780,73 € oder rund vier Prozent. ⟨3⟩

Die Rechnung ist elegant und in einer Zelle erledigt — und genau darin liegt die begrenzte Nützlichkeit. Ihre Voraussetzung, nämlich exakt gleich hohe Zahlungen in exakt gleich langen Perioden, trifft im Unternehmen fast nie zu: Umsätze schwanken, Kosten fallen unregelmäßig an, Investitionen haben Rückflüsse in verschiedener Höhe, und Zahlungstermine folgen Verträgen und Werktagen statt einem sauberen Jahresraster. BW() bleibt deshalb auf die wenigen echten Rentenfälle beschränkt — Leasingraten, Mietverträge, Annuitätendarlehen —, während die Bewertung realer Zahlungsreihen NBW() und in der Praxis XKAPITALWERT() verlangt, das jede Zahlung mit ihrem individuellen Datum taggenau abzinst. Hinzu kommt Rohleders Modellierungsregel, dass eine Finanzplanung ohnehin als Datum-Betrag-Datensatzliste zu bauen ist; wer so modelliert, hat für BW() schlicht keine Eingangsgröße mehr. ⟨4⟩

⟨+1⟩ Einen Reservepunkt liefert der Ort, an dem BW() doch täglich nützlich ist: als Gegenprobe der Annuitätenrechnung — =BW(3%;20;-13443,14) muss wieder rund 200.000 Euro ergeben; zwei Zellen Aufwand, und die RMZ-Rechnung ist belegt statt behauptet.

Rohleders Erwartung: Beide Unterschiede müssen fallen — gleich hohe Zahlungen und die Wahl zwischen Perioden-Anfang und -Ende. Der Bewertungssatz „schlank und schön, aber selten nützlich" ist die Einladung, die Praxistauglichkeit zu beurteilen statt die Funktion nur zu beschreiben; wer die Annahme homogener Zahlungen an der Realität eines Geschäftsmodells misst, hat die Aufgabe getroffen.

Selbstkontroll-Zahlen aller Rechenbeispiele

Jede Zahl wurde dreifach nachgerechnet — analytisch, per Rückeinsetzen und über einen zweiten Rechenweg.

9. Die NBW-Hilfe im Faktencheck: Fehlübersetzung und Aktivtausch (5 P)

a) 3 P. – Zwei Fehler in einem Hilfe-Artikel

„Netto-Barwert" ist eine Fehlübersetzung von Net Present Value: Das englische „to net" heißt saldieren — gemeint ist der Saldo der Barwerte aller Ein- und Auszahlungen, im Deutschen schlicht der Kapitalwert. Ein „netto" im steuerlichen oder Abzugssinn steckt nicht darin. ⟨1⟩ Der zweite Fehler ist die Bezeichnung „Anlagekosten" für die Anschaffungsauszahlung: Eine Investition ist im Moment der Anschaffung ein erfolgsneutraler Aktivtausch — Geld wird zu Anlagevermögen, die Bilanzsumme bleibt, es entsteht kein Aufwand und erst recht keine Kosten. ⟨2⟩ Wertverzehr entsteht erst über die Nutzung, und der wird durch die Abschreibung periodisiert; Auszahlung, Ausgabe, Aufwand und Kosten sind hier sauber zu trennen, und die Hilfe wirft genau diese Ebenen durcheinander. ⟨3⟩

b) 2 P. – Korrekte Anwendung

NBW(Zins; Wert1; …) zinst nur die Folgezahlungen ab, und zwar so, als läge die erste eine volle Periode in der Zukunft. Die Anschaffungsauszahlung in t0 gehört deshalb nicht in die Argumentliste, sondern wird separat abgezogen: =NBW(i; Z1:Z5) - A0. ⟨4⟩ Wer die Anschaffung mit in den NBW-Bereich nimmt, zinst sie fälschlich um eine Periode ab und erhält einen zu hohen Kapitalwert — das ist der klassische Anwendungsfehler, den die unsaubere Hilfe begünstigt. ⟨5⟩

⟨+1⟩ Die Abgrenzung zu XKAPITALWERT() rundet die Stellungnahme ab: Dort gehört die Anschaffungsauszahlung — anders als bei NBW() — als erste, negative Zeile in die Werteliste, weil die Funktion jede Zahlung mit ihrem individuellen Datum abzinst und t0 korrekt mit dem Faktor eins eingeht.

Rohleders Erwartung: Die Stellungnahme-Form ist sein Lieblingsformat: eine Autorität (hier Microsofts Hilfe) sagt etwas, und die Antwort urteilt mit Begründung. Die Punkte liegen bei „to net = saldieren", beim Aktivtausch-Argument mit der Abgrenzung Auszahlung/Kosten und bei der separaten t0-Behandlung.

10. Dynamische Amortisationsdauer am kumulierten Barwert (4 P)

a) 2 P. – Definition und Abgrenzung

Die dynamische Amortisationsdauer ist der Zeitpunkt, zu dem der kumulierte Barwert der Zahlungsreihe erstmals positiv wird — die abgezinsten Rückflüsse haben dann die Anschaffungsauszahlung vollständig zurückverdient. ⟨1⟩ Der Unterschied zur statischen Amortisationsdauer ist die Abzinsung: Statisch werden die nominalen Rückflüsse aufsummiert, dynamisch die Barwerte — deshalb fällt die dynamische Amortisation stets später aus, und eine Investition, die sich statisch in vier Jahren rechnet, kann dynamisch erst in Periode fünf im Plus sein. ⟨2⟩

b) 2 P. – Ermittlung im Blatt

Neben der Barwertspalte wird eine Spalte mit dem kumulierten Barwert geführt (laufende Summe ab t0 inklusive der negativen Anschaffung). Die Amortisationsdauer liest man am ersten Vorzeichenwechsel dieser Spalte ab. ⟨3⟩ Der vorgeführte Praxisweg dazu: die Barwert-Zellen mit wachsendem Bereich markieren und die Summe in der Statuszeile beobachten, bis sie erstmals positiv wird — für den genauen Zeitpunkt innerhalb des Jahres wird zwischen den beiden Perioden linear interpoliert. ⟨4⟩

⟨+1⟩ Der Formel-Reservepunkt: Die kumulierte Barwertspalte ist dieselbe Anker-Technik wie jede laufende Summe — =SUMME($C$2:C2) mit absolut fixiertem Start und relativem Ende, das beim Herunterkopieren mitwächst; wer diese Bezugsarten-Begründung mitliefert, holt den Zerlegungspunkt gleich mit.

Rohleders Erwartung: Die Definition über den kumulierten Barwert und das Wort „erstmals positiv" sind die Punktanker; die Statuszeilen-Technik zeigt, dass man die Vorführung gesehen hat.

11. Der Solver in drei Fragen: Was, Woraus, Womit (5 P)

a) 1 P. – Einordnung und Aktivierung

Der Solver ist ein Add-In des Drittherstellers Frontline Systems, das Algorithmen des Operations Research für Excel bereitstellt. Er ist mitinstalliert, aber nicht aktiv — aktiviert wird er über Datei → Optionen → Add-Ins → Verwalten: Excel-Add-Ins, danach erscheint er im Reiter Daten. ⟨1⟩

b) 2 P. – Die drei Modellbestandteile

Jedes Solver-Modell besteht erstens aus der Zielzelle mit Optimierungsrichtung (Maximieren, Minimieren oder Zielwert), zweitens aus den veränderbaren Variablenzellen, an denen der Solver drehen darf. ⟨2⟩ Drittens aus den Nebenbedingungen — darunter regelmäßig die Nichtnegativitätsbedingungen, die zusammen mit den übrigen Restriktionen den Lösungsraum schließen; ein offener Lösungsraum liefert keine sinnvolle Optimallösung. ⟨3⟩

c) 2 P. – Die drei Lösungsverfahren

Simplex-LP löst lineare Programme exakt und schafft bis zu 200 unabhängige Variablen — das Verfahren für klassische Produktionsprogramm- und Zuteilungsprobleme. ⟨4⟩ GRG Nichtlinear behandelt glatte nichtlineare Modelle und lässt sich per Multistart mit rund 100 Startpunkten gegen lokale Optima absichern; das evolutionäre Verfahren schließlich greift bei nicht-glatten, kombinatorischen Problemen — vorgeführt am Rundreiseproblem mit der All-Different-Nebenbedingung. ⟨5⟩

⟨+1⟩ Ein korpusfester Anwendungsfall als Reserve: In der Prognose-Übung wurden die Quartalsgewichte früher per Solver optimiert, was das Gütemaß nochmals etwa halbierte — heute hält Rohleder das für entbehrlich, weil PROGNOSE.ETS() Trend und Saison selbst erkennt; der Solver bleibt das Werkzeug für echte Optimierungsfragen mit Nebenbedingungen.

Rohleders Erwartung: Sein eigener Maßstab aus der Vorlesung: „Sie müssen nur grundsätzlich wissen, dass es den Solver gibt." Die Punkte liegen also bei Einordnung, den drei Modellbestandteilen und der Verfahrens-Zuordnung — keine Bedienschritt-Details.