FINA U22 — F: Investitionsrechnung 3 (Dynamische Investitionsrechnung)

Status: GEPRÜFT (1,0)

Modul: Finanzwirtschaft (FINA) · TH Bingen · B.Eng. Wirtschaftsingenieurwesen · Prüfer: Prof. Rohleder Leitquelle: Bösch, Finanzwirtschaft. Investition, Finanzierung, Finanzmärkte und Steuerung, 5. Auflage 2022 (Vahlen). Kapitel zur dynamischen Investitionsrechnung.

Rest-Hygiene: Inhaltlich vollständig + korrekt. Alle Rechnungen nachgerechnet: WACC 8,60 % / 8,90 %; Kapitalwert 168,30 / 138,25; Annuität KWF(10 %,3)=0,40211 → a=67,68, KWF(8 %,5) → a=125,23; interner Zinsfuß #12 verifiziert — C₀(10 %)=168,30, C₀(20 %)=−4,63, lineare Interpolation 19,73 % überschätzt den exakten IRR 19,69 % (Konvexität, wie im Text korrekt beschrieben); dynamische Amortisation 2,44 / 2,40 J. ✓. Offen (kein inhaltlicher Blocker): die konkreten OLAT-Arbeitsmappen-Aufgaben 1–4 und die genaue Interpolations-/Nummerierungskonvention (#14/#15, #20–#24/#30–#32) liegen nicht lokal vor — aus Skript/OLAT nachtragen (siehe Sammelnotiz unten).

Hinweis: Die im Dossier genannten Seiten- und Tabellenverweise (z. B. „Tabelle F-4, S. 300“) stammen aus der konkreten Bösch-Auflage und sind beim Lernen am Buch zu verifizieren.

Sammelnotiz – noch beizubringende Originalquellen: Drei Stellen verweisen auf Material, das hier nicht vorliegt: (1) die konkreten Aufgabenstellungen/Zahlen der OLAT-Arbeitsmappe (Übungen 1–4, Modul F), (2) die genaue Definitions-/Interpolationskonvention der Vorlesung zur dynamischen Amortisationszeit (#14/#15), (3) die Zuordnung der Priorisierungs-Nummern #20–#24 und #30–#32 zu Skript-/Übungsinhalten. Diese drei Punkte aus Skript/OLAT/Veranstaltung nachtragen.

28 Dynamische Investitionsrechnung: Grundlagen

28.1 Grundstruktur des Entscheidungsverfahrens

#01 Was ist die Grundidee der dynamischen Investitionsbewertungsverfahren?

ANTWORT: Die dynamischen Verfahren bewerten eine Investition als eine über mehrere Perioden verteilte Zahlungsreihe (Cashflows). Im Gegensatz zu den statischen Verfahren (die mit Durchschnittswerten einer einzelnen Periode rechnen) berücksichtigen die dynamischen Verfahren den Zeitwert des Geldes: Eine heute fällige Zahlung ist mehr wert als eine betragsgleiche spätere Zahlung, weil Geld zwischenzeitlich verzinslich angelegt werden kann.

Kerngedanke: Alle Ein- und Auszahlungen einer Investition werden über Auf- bzw. Abzinsung (Diskontierung) mit einem Kalkulationszinssatz i auf einen einheitlichen Bezugszeitpunkt (meist t = 0, der Investitionsbeginn) umgerechnet und damit vergleichbar gemacht. Erst dadurch lassen sich Zahlungen unterschiedlicher Zeitpunkte sinnvoll saldieren.

Daraus folgen die zentralen dynamischen Verfahren: Kapitalwertmethode (NPV), Annuitätenmethode, interner Zinsfuß (IRR) und dynamische Amortisationsrechnung.

Symbole: i = Kalkulationszins/Diskontierungssatz; t = Periodenindex; CFₜ = Cashflow (Zahlungssaldo) in Periode t.

QUELLE: Bösch (2022), Kap. Dynamische Investitionsrechnung; Allgemeines Lehrbuchwissen Zeitwert des Geldes.

VERWANDTE FRAGEN:

Worin unterscheiden sich statische und dynamische Investitionsrechnung? → Statische Verfahren (Kostenvergleich, Gewinnvergleich, Rentabilitäts-, statische Amortisationsrechnung) arbeiten mit Durchschnittsgrößen einer Periode und ignorieren den zeitlichen Anfall der Zahlungen. Dynamische Verfahren rechnen mit der vollständigen, periodengenauen Zahlungsreihe und berücksichtigen über Diskontierung den Zeitwert des Geldes. Dynamisch ist genauer, aber datenintensiver.
Warum ist der Zeitwert des Geldes zentral für die Investitionsbewertung? → Weil Kapital alternativ verzinslich angelegt werden könnte (Opportunitätskosten). Eine spätere Zahlung muss um den entgangenen Zins abgewertet werden; sonst würden Investitionen mit spätem Rückfluss systematisch überbewertet.

WARUM: Testet, ob du die Abgrenzung statisch ↔︎ dynamisch und das Fundament „Zeitwert des Geldes“ frei erklären kannst — Rohleders typischer Einstieg, bevor er in Rechenaufgaben geht.

#02 Erläutern Sie die Zeitachse der dynamischen Investitionsrechnung (Bösch, Abschnitt Grundstruktur — Tabellen-/Seitenverweis am Buch verifizieren). Unterschied Zeitpunkte ↔︎ Zeiträume; Bedeutung nachschüssiger Zahlungen.

ANTWORT: Die Zeitachse stellt die Zahlungsreihe einer Investition grafisch dar. Sie unterscheidet:

Zeitpunkte (t): diskrete Punkte auf der Achse (t = 0, 1, 2, …, n). t = 0 ist der Investitionsbeginn (heute), an dem typischerweise die Anschaffungsauszahlung I₀ anfällt. Zeitpunkte sind „Stichtage“, an denen Zahlungen verbucht werden.
Zeiträume (Perioden): die Intervalle zwischen zwei Zeitpunkten, z. B. das Jahr zwischen t = 0 und t = 1. Die Periode 1 liegt also zwischen den Zeitpunkten 0 und 1.

Konzept nachschüssiger (postnumerando) Zahlungen: In der Finanzmathematik wird per Konvention angenommen, dass die laufenden Zahlungen einer Periode am Ende dieser Periode (am rechten Zeitpunkt des Intervalls) anfallen. Der Rückfluss der Periode 1 wird also dem Zeitpunkt t = 1 zugeordnet, nicht t = 0. Gegensatz: vorschüssige (pränumerando) Zahlungen am Periodenanfang.

Bedeutung: Die Wahl nachschüssig/vorschüssig bestimmt die Anzahl der Diskontierungsperioden und damit das Ergebnis. Standardformeln (Kapitalwert, Rentenbarwert, Annuität) sind in der Regel nachschüssig definiert; bei vorschüssiger Annahme muss ein zusätzlicher Auf-/Abzinsungsfaktor (1 + i) eingerechnet werden.

Symbole: I₀ = Anschaffungsauszahlung in t = 0; n = Nutzungsdauer (Anzahl Perioden).

QUELLE: Bösch (2022), Abschnitt Grundstruktur der dynamischen Investitionsrechnung (Zeitachse) — konkrete Tabellen-/Seitenangabe am Buch verifizieren, im Dossier nicht ungeprüft zitieren; finanzmathematische Konvention nach-/vorschüssiger Renten.

VERWANDTE FRAGEN:

Eine Rate fällt am Periodenanfang statt am Periodenende an — wie ändert sich der Barwert? → Der Barwert wird größer, weil jede Zahlung eine Periode früher anfällt und damit weniger lang abgezinst wird. Formal: Barwert(vorschüssig) = Barwert(nachschüssig) · (1 + i).
Warum legt man Zahlungen rechnerisch ans Periodenende? → Vereinfachende, einheitliche Konvention der Finanzmathematik; sie passt zu der Annahme, dass z. B. Umsatzüberschüsse erst über die Periode entstehen und am Periodenende kassiert/saldiert werden.

WARUM: Die Zeitpunkt/Zeitraum-Unterscheidung und nach- vs. vorschüssig ist ein klassischer „Stolperstein“, an dem Rohleder Verständnis vom Auswendiglernen trennt — ein Vorzeichen-/Periodenfehler kippt das ganze Rechenergebnis.

28.2 Investitionsentscheidung und Finanzierung

#03 Welche Alternativen gibt es bei der Berücksichtigung der Finanzierung in der Investitionsrechnung?

ANTWORT: Es gibt grundsätzlich zwei methodische Wege, die Finanzierung in der Investitionsrechnung abzubilden:

Trennung von Investition und Finanzierung (Standardfall): Man bewertet nur die Investitions-Zahlungsreihe (operative Cashflows) und bildet die Finanzierung im Kalkulationszinssatz ab. Der Diskontierungssatz repräsentiert die geforderte Mindestverzinsung / die Kapitalkosten (z. B. WACC). Die Finanzierungszahlungen (Kreditaufnahme, Zins, Tilgung) tauchen NICHT explizit in der Zahlungsreihe auf — sie sind implizit im Diskontsatz enthalten. Das ist der übliche und in den Standardverfahren (NPV mit WACC) unterstellte Weg.
Explizite Einbeziehung der Finanzierung (vollständiger Finanzplan / Total-Cashflow-Ansatz): Die Finanzierungszahlungen werden explizit in die Zahlungsreihe aufgenommen (z. B. als vollständiger Finanzplan, VOFI). Dann werden Soll- und Habenzinsen, Tilgungen und Wiederanlagen direkt modelliert; der Kalkulationszins entfällt teilweise bzw. wird durch tatsächliche Anlage-/Finanzierungszinsen ersetzt.

Kernpunkt: Entweder die Finanzierung steckt im Zinssatz (impliziter Weg) oder in der Zahlungsreihe (expliziter Weg) — beides doppelt zu erfassen wäre ein Fehler (Doppelzählung der Kapitalkosten).

QUELLE: Bösch (2022), Abschnitt Investitionsentscheidung und Finanzierung; vgl. auch Konzept des Vollständigen Finanzplans (VOFI).

VERWANDTE FRAGEN:

Warum darf man Zinszahlungen für die Investitionsfinanzierung nicht zusätzlich in die Cashflows einrechnen, wenn man mit dem WACC diskontiert? → Weil der WACC die Kapitalkosten (inkl. Fremdkapitalzins) bereits enthält. Würde man die Zinsen zusätzlich als Auszahlung ansetzen, würden die Finanzierungskosten doppelt erfasst und der Kapitalwert systematisch zu niedrig.
Was ist ein Vollständiger Finanzplan (VOFI) und wann ist er sinnvoll? → Eine tabellarische, explizite Abbildung aller Zahlungen inkl. Finanzierung, Wiederanlage, Steuern und unterschiedlicher Soll-/Habenzinsen. Sinnvoll, wenn die vereinfachende Annahme „ein einheitlicher Kalkulationszins“ zu grob ist (z. B. abweichende Anlage- und Kreditzinsen, Steuerwirkungen).

WARUM: Prüft das Verständnis, dass Kapitalkosten entweder im Diskontsatz oder in der Zahlungsreihe stehen — ein häufiger konzeptioneller Fehler, den Rohleder gern über eine „Wo stecken die Zinsen?“-Frage aufdeckt.

28.3 Durchschnittliche Kapitalkosten (WACC)

#04 Was versteht man unter dem WACC, und wie wird er berechnet?

ANTWORT: WACC (Weighted Average Cost of Capital) = die gewogenen durchschnittlichen Kapitalkosten eines Unternehmens. Er ist der mit den Kapitalanteilen gewichtete Mischzinssatz aus Eigenkapitalkosten und (steuerangepassten) Fremdkapitalkosten und dient als Mindestrendite/Diskontierungssatz für Investitionen mit unternehmenstypischem Risiko.

Formel:

WACC = (E / (E + D)) · rₑ + (D / (E + D)) · r_d · (1 − s)

Symbole:

E = Marktwert des Eigenkapitals
D = Marktwert des Fremdkapitals
rₑ = Eigenkapitalkostensatz (geforderte Rendite der Eigenkapitalgeber, z. B. via CAPM)
r_d = Fremdkapitalkostensatz (Zinssatz auf das Fremdkapital)
s = Ertragsteuersatz (Unternehmenssteuersatz)
der Faktor (1 − s) bildet das Tax Shield ab: Fremdkapitalzinsen sind steuerlich abzugsfähig und senken so die effektiven FK-Kosten.

Rechenbeispiel: E = 600, D = 400 (also E + D = 1.000), rₑ = 12 %, r_d = 5 %, s = 30 %. WACC = (600/1000)·0,12 + (400/1000)·0,05·(1 − 0,30) = 0,60·0,12 + 0,40·0,05·0,70 = 0,072 + 0,014 = 0,086 = 8,60 %.

QUELLE: Bösch (2022), Abschnitt Durchschnittliche Kapitalkosten (WACC); CAPM-/Kapitalkosten-Standardliteratur.

VERWANDTE FRAGEN:

Berechnen Sie den WACC: E = 800, D = 200, rₑ = 10 %, r_d = 6 %, s = 25 %. → WACC = (800/1000)·0,10 + (200/1000)·0,06·(1 − 0,25) = 0,08 + 0,2·0,06·0,75 = 0,08 + 0,009 = 0,089 = 8,90 %.
Was bewirkt das Tax Shield im WACC und warum erscheint es nur beim Fremdkapital? → Es senkt die effektiven Fremdkapitalkosten um den Faktor (1 − s), weil FK-Zinsen als Betriebsausgabe die Steuerlast mindern. Eigenkapital-„Kosten“ (Dividenden/Gewinne) sind steuerlich nicht abzugsfähig, deshalb kein Tax Shield auf der EK-Seite.

WARUM: Reine Standard-Rechenaufgabe, die Rohleder mit anderen Zahlen quasi 1:1 wiederholen kann — entscheidend ist, das Tax Shield korrekt nur aufs FK anzuwenden.

#05 Warum ist es wichtig, bei der Berechnung des WACC die Marktwerte zu verwenden?

ANTWORT: Die Gewichte E und D im WACC sollen die aktuelle, tatsächliche Finanzierungsstruktur widerspiegeln, mit der das Unternehmen am Kapitalmarkt finanziert ist. Maßgeblich ist, welche Verzinsung Eigen- und Fremdkapitalgeber heute auf den heutigen Wert ihres eingesetzten Kapitals fordern.

Gründe gegen Buchwerte:

Buchwerte (Bilanzwerte) sind historische, durch Bilanzierungs- und Abschreibungsregeln verzerrte Größen; sie spiegeln nicht den aktuellen Wert wider, den Investoren dem Kapital beimessen.
Die geforderten Renditen rₑ und r_d beziehen sich ökonomisch auf den Marktwert des Kapitals, nicht auf den Bilanzansatz. Nur mit Marktwert-Gewichten passen Renditen und Basis zusammen.
Insbesondere der Eigenkapital-Marktwert (Börsenkapitalisierung) weicht oft stark vom Buchwert ab; Buchwertgewichtung würde die Kapitalstruktur und damit den WACC systematisch verfälschen.

Kurz: Marktwerte → konsistente, ökonomisch korrekte Gewichtung der Kapitalkosten; Buchwerte → verzerrtes Ergebnis.

QUELLE: Bösch (2022), Abschnitt WACC / Marktwertgewichtung; Standardargument der Unternehmensbewertung.

VERWANDTE FRAGEN:

Welches Problem entsteht praktisch bei der Marktwertbestimmung des Fremdkapitals nicht börsennotierter Unternehmen? → Für nicht gehandeltes FK liegt kein Börsenkurs vor; man behilft sich näherungsweise mit dem Buchwert (oft akzeptabel, da FK-Marktwert nahe Nominalwert) oder einer Barwertberechnung der Zahlungsreihe zum aktuellen Marktzins.
Warum kann die Verwendung von Buchwerten zu einer Fehlsteuerung von Investitionsentscheidungen führen? → Ein verzerrter WACC liefert einen falschen Diskontierungssatz; zu niedriger WACC lässt unrentable Projekte vorteilhaft erscheinen, zu hoher WACC lässt rentable Projekte abgelehnt werden.

WARUM: Konzeptfrage, die das Verständnis „Kapitalkosten beziehen sich auf Marktwerte, nicht auf die Bilanz“ prüft — eine typische Verständnis-Drehung gegenüber der reinen Formel.

#06 Was wird bei der Verwendung des WACC als Diskontierungszins alles berücksichtigt?

ANTWORT: Wird der WACC als Diskontierungssatz im Kapitalwert verwendet, sind damit folgende Aspekte bereits eingepreist:

Kapitalkosten beider Kapitalgeber: Eigenkapital- und Fremdkapitalverzinsung gewichtet nach Anteil — d. h. die Renditeforderung aller Kapitalgeber.
Risiko: über die Eigenkapitalkosten rₑ (z. B. CAPM-Risikoprämie) ist das systematische Geschäftsrisiko des Unternehmens/Projekts berücksichtigt.
Steuerwirkung des Fremdkapitals (Tax Shield): über den Faktor (1 − s) auf r_d.
Kapitalstruktur (Leverage): über die Gewichte E/(E+D) und D/(E+D).
Opportunitätskosten: der WACC entspricht der Mindestrendite, die eine alternative Anlage gleichen Risikos erbringen müsste — er ist die „Hürde“ (Hurdle Rate).

Wird ein Projekt zum WACC diskontiert und der Kapitalwert ist ≥ 0, erwirtschaftet es mindestens die Kapitalkosten aller Kapitalgeber inkl. Risikoprämie — die Finanzierung ist damit implizit bedient (vgl. #03).

Wichtig: Der WACC ist nur dann der korrekte Diskontsatz, wenn das Projekt dasselbe Risiko und dieselbe Kapitalstruktur wie das Gesamtunternehmen aufweist; sonst sind projektspezifische Kapitalkosten anzusetzen.

QUELLE: Bösch (2022), Abschnitt WACC als Kalkulationszins; Lehrbuchwissen Kapitalkosten/Hurdle Rate.

VERWANDTE FRAGEN:

Unter welcher Voraussetzung ist der WACC als Diskontierungssatz für ein einzelnes Projekt zulässig? → Wenn das Projekt risikomäßig und in seiner Finanzierungsstruktur dem Gesamtunternehmen entspricht. Bei abweichendem Risiko sind projekt-/divisionsspezifische Kapitalkosten zu verwenden, sonst werden riskante Projekte zu günstig und sichere zu teuer bewertet.
Was bedeutet ein Kapitalwert von 0 bei Diskontierung mit dem WACC ökonomisch? → Das Projekt verdient exakt die Kapitalkosten aller Kapitalgeber (inkl. Risikoprämie), schafft aber keinen darüber hinausgehenden Wert — es ist gerade noch akzeptabel (Indifferenz).

WARUM: Verknüpft WACC mit der Kapitalwertmethode und der Hurdle-Rate-Logik — Rohleder testet hier gern die Voraussetzung „gleiches Risiko/gleiche Kapitalstruktur“, die viele übersehen.

29 Kapitalwertmethode

29.1 Verfahren

#07 Wie wird der Kapitalwert einer Investition berechnet, und was sagt er aus?

ANTWORT: Der Kapitalwert (Net Present Value, NPV; auch C₀ oder KW) ist die Summe aller auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Ein- und Auszahlungen einer Investition.

Formel (nachschüssig):

C₀ = − I₀ + Σ_{t=1}^{n} [ CFₜ / (1 + i)ᵗ ] + L_n / (1 + i)ⁿ

Symbole:

C₀ = Kapitalwert (Barwert aller Zahlungen) in t = 0
I₀ = Anschaffungsauszahlung in t = 0
CFₜ = Netto-Cashflow (Einzahlungsüberschuss) der Periode t
L_n = Liquidations-/Restwert am Ende der Nutzungsdauer (t = n)
i = Kalkulationszins (z. B. WACC)
n = Nutzungsdauer

Aussage: Der Kapitalwert ist der in heutigen Geldeinheiten ausgedrückte Vermögenszuwachs, den die Investition über die geforderte Mindestverzinsung i hinaus stiftet. C₀ > 0 heißt: Die Investition verzinst das eingesetzte Kapital höher als i und schafft zusätzlichen Wert.

Rechenbeispiel: I₀ = 1.000; CF₁ = 500, CF₂ = 500, CF₃ = 400; i = 10 %; L_n = 0. C₀ = −1.000 + 500/1,1 + 500/1,1² + 400/1,1³ = −1.000 + 454,55 + 413,22 + 300,53 = 168,30 (> 0 → vorteilhaft).

QUELLE: Bösch (2022), Kapitel Kapitalwertmethode; Excel-Funktion NBW()/XKAPITALWERT() (OLAT-Arbeitsmappe).

VERWANDTE FRAGEN:

Berechnen Sie den Kapitalwert: I₀ = 800, CF₁ = 300, CF₂ = 400, CF₃ = 400, i = 8 %. → C₀ = −800 + 300/1,08 + 400/1,08² + 400/1,08³ = −800 + 277,78 + 342,94 + 317,53 = 138,25 (> 0 → vorteilhaft).
Wie geht ein Restwert (Liquidationserlös) in den Kapitalwert ein? → Als zusätzliche Einzahlung am Ende der Nutzungsdauer t = n, abgezinst mit 1/(1+i)ⁿ; er erhöht den Kapitalwert.

WARUM: Die Kapitalwertberechnung ist die zentrale Pflicht-Rechenaufgabe („elementar, ohne Tabellenfunktion“); Rohleder variiert nur Zahlen, Periodenzahl und Restwert.

29.2 Interpretation und Entscheidungsregeln

#08 Welche Entscheidungsregeln ergeben sich aus der Kapitalwertmethode?

ANTWORT:

Einzelinvestition (Absolute Vorteilhaftigkeit):

C₀ > 0 → Investition ist vorteilhaft (durchführen); sie verzinst sich höher als der Kalkulationszins.
C₀ = 0 → Indifferenz; die Investition verzinst sich genau zum Kalkulationszins (gerade noch akzeptabel).
C₀ < 0 → Investition ist unvorteilhaft (ablehnen); Verzinsung unter dem Kalkulationszins.

Auswahl zwischen mehreren Alternativen (Relative Vorteilhaftigkeit):

Wähle die Investition mit dem höchsten (positiven) Kapitalwert — vorausgesetzt, die Projekte sind vergleichbar (gleiche Nutzungsdauer, gleicher Kapitaleinsatz bzw. korrekte Berücksichtigung von Unterschieden). Bei unterschiedlicher Nutzungsdauer/Einsatzhöhe sind Anpassungen nötig (z. B. Annuitäten, Ergänzungsinvestition, gemeinsames Betrachtungsintervall).

QUELLE: Bösch (2022), Abschnitt Entscheidungsregeln Kapitalwertmethode.

VERWANDTE FRAGEN:

Zwei Projekte haben C₀(A) = 150 und C₀(B) = 90 bei gleicher Nutzungsdauer und gleichem Kapitaleinsatz — welches wählen Sie? → Projekt A, da höherer Kapitalwert (höherer Vermögenszuwachs). Voraussetzung: Vergleichbarkeit gegeben.
Warum reicht es bei unterschiedlicher Nutzungsdauer nicht, einfach die Kapitalwerte zu vergleichen? → Weil Projekte mit längerer Laufzeit „mehr Zeit zum Geldverdienen“ haben; ein fairer Vergleich erfordert gleiche Betrachtungsdauer (z. B. Kette/Ergänzungsinvestition) oder den Wechsel auf die Annuität (vgl. #11).

WARUM: Standard-Entscheidungslogik; Rohleder kombiniert sie gern mit einer „Achtung-Falle“ (unterschiedliche Laufzeit/Einsatz), um zu sehen, ob man die Vergleichbarkeitsbedingung kennt.

29.3 Vergleich von Investitionsalternativen

#09 Warum verändert sich die Vorteilhaftigkeit von Investitionen bei unterschiedlichen Diskontierungssätzen?

ANTWORT: Der Kapitalwert ist eine fallende Funktion des Kalkulationszinses i: Je höher i, desto stärker werden künftige Zahlungen abgezinst, desto kleiner ihr Barwert — der Kapitalwert sinkt. (Bei i = internem Zinsfuß wird C₀ = 0.)

Entscheidend für den Vergleich zweier Projekte: Investitionen mit späten, hohen Rückflüssen reagieren empfindlicher auf Zinsänderungen (lange Diskontierungszeiträume) als Investitionen mit frühen Rückflüssen. Dadurch können sich die Kapitalwertkurven zweier Projekte schneiden (Fisher-Schnittpunkt / kritischer Zinssatz):

Unterhalb des Schnittzinses ist das eine Projekt vorteilhafter,
oberhalb das andere.

Folge: Die relative Vorteilhaftigkeit hängt vom verwendeten Diskontierungssatz ab. Ein „falscher“ Kalkulationszins kann die Rangfolge umdrehen — deshalb ist die korrekte Bestimmung von i (z. B. WACC) entscheidend.

QUELLE: Bösch (2022), Abschnitt Vergleich von Investitionsalternativen / Kapitalwertkurve; Konzept Fisher-Schnittpunkt.

VERWANDTE FRAGEN:

Was ist der Fisher-Schnittpunkt (kritischer Zinssatz) und wie ermittelt man ihn? → Der Diskontierungssatz, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben (Schnittpunkt der Kapitalwertkurven). Man ermittelt ihn als internen Zinsfuß der Differenz-Zahlungsreihe (CF_A − CF_B); bei diesem Zins ist man indifferent.
Welches Projekt reagiert stärker auf einen Anstieg des Kalkulationszinses — eines mit frühen oder eines mit späten Rückflüssen? → Das mit späten Rückflüssen, da deren Barwerte über längere Zeiträume und damit stärker abgezinst werden; sein Kapitalwert fällt schneller.

WARUM: Prüft das Verständnis der Kapitalwert-Zins-Funktion und der zinsabhängigen Rangumkehr — eine anspruchsvollere, gern grafisch abgefragte Rohleder-Drehung über die reine Rechnung hinaus.

30 Annuitätenmethode

30.1 Verfahren

#10 Wie funktioniert die Annuitätenmethode, und wofür wird sie verwendet?

ANTWORT: Die Annuitätenmethode wandelt den Kapitalwert in eine über die Nutzungsdauer gleichbleibende jährliche Zahlung (Annuität) um. Sie verteilt also den heutigen Vermögenszuwachs gleichmäßig auf alle Perioden.

Vorgehen: Kapitalwert C₀ mit dem Annuitäten-/Wiedergewinnungsfaktor (Kapitalwiedergewinnungsfaktor, KWF) multiplizieren:

a = C₀ · KWF(i, n) mit KWF(i, n) = [ i · (1 + i)ⁿ ] / [ (1 + i)ⁿ − 1 ]

Symbole:

a = Annuität (gleichbleibender Jahresbetrag)
C₀ = Kapitalwert
i = Kalkulationszins; n = Nutzungsdauer
KWF = Annuitätenfaktor (Kehrwert des Rentenbarwertfaktors)

Verwendung:

Umrechnung eines Kapitalwerts in einen jährlichen „Durchschnittsgewinn“/Überschuss.
Vergleich von Investitionen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer (siehe #11): Annuitäten sind unabhängig von der Laufzeit pro Jahr vergleichbar.
Excel: RMZ() (Rückzahlung/Annuität).

Rechenbeispiel: C₀ = 168,30 (aus #07), i = 10 %, n = 3. KWF = [0,10·1,1³] / [1,1³ − 1] = [0,10·1,331] / [0,331] = 0,1331/0,331 = 0,40212. a = 168,30 · 0,40212 = 67,68 pro Jahr.

QUELLE: Bösch (2022), Kapitel Annuitätenmethode; Excel-Funktion RMZ() (OLAT-Arbeitsmappe).

VERWANDTE FRAGEN:

Berechnen Sie die Annuität: C₀ = 500, i = 8 %, n = 5. → KWF = [0,08·1,08⁵]/[1,08⁵ − 1]. 1,08⁵ = 1,46933. KWF = (0,08·1,46933)/(0,46933) = 0,117546/0,46933 = 0,25046. a = 500·0,25046 = 125,23 pro Jahr.
Wie hängen Annuitätenfaktor und Rentenbarwertfaktor zusammen? → Der Annuitätenfaktor (KWF) ist der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors RBF(i,n) = [(1+i)ⁿ − 1]/[i·(1+i)ⁿ]. Multipliziert man einen Barwert mit dem KWF, erhält man die gleichbleibende Rate; mit dem RBF rechnet man von der Rate zurück zum Barwert.

WARUM: Die Annuitätenrechnung ist Pflichtstoff („Annuität elementar berechnen“); Rohleder testet, ob du den KWF korrekt aufstellst und seinen Bezug zum Kapitalwert/Rentenbarwertfaktor verstehst.

30.2 Interpretation und Entscheidungsregeln

#11 In welchen Fällen ist die Annuitätenmethode der Kapitalwertmethode überlegen?

ANTWORT: Beide Verfahren führen bei einer Einzelinvestition zur gleichen Vorteilhaftigkeitsaussage (a > 0 ⟺ C₀ > 0), da die Annuität nur eine lineare Transformation des Kapitalwerts ist. „Überlegen“ ist die Annuitätenmethode dort, wo sie besser vergleichbar oder interpretierbar ist:

Investitionen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer: Die Annuität ist ein jährlicher Wert und macht Projekte verschiedener Laufzeit direkt vergleichbar (unter der Annahme identischer, beliebig oft wiederholbarer Investitionsketten). Der reine Kapitalwert ist hier irreführend, weil längere Projekte tendenziell höhere Kapitalwerte haben.
Periodisierte/laufende Betrachtung: Wenn ein gleichmäßiger Jahresüberschuss (z. B. für Kalkulation, Mietäquivalent, jährliche Kostenbetrachtung) gefragt ist, ist die Annuität die anschaulichere Größe.
Kostenvergleich (negative Zahlungsreihen): jährliche Durchschnittskosten lassen sich als (Kosten-)Annuität gut gegenüberstellen.

Grenze/Hinweis: Die Vergleichbarkeit über die Annuität bei unterschiedlicher Laufzeit setzt die (oft kritische) Wiederholungsannahme voraus (identische Anschlussinvestition). Ohne diese Annahme ist auch die Annuität nicht ohne Weiteres aussagekräftig.

QUELLE: Bösch (2022), Abschnitt Annuitätenmethode — Entscheidungsregeln/Vergleich; Lehrbuchwissen zur Laufzeitproblematik.

VERWANDTE FRAGEN:

Projekt A (n = 4) hat C₀ = 300, Projekt B (n = 6) hat C₀ = 380 — warum darf man hier nicht einfach B wählen? → Wegen der unterschiedlichen Laufzeiten ist der reine Kapitalwertvergleich verzerrt. Man rechnet die Annuitäten aus (C₀ · KWF mit jeweiligem n) und vergleicht die jährlichen Werte — unter der Annahme wiederholbarer Investitionsketten.
Liefern Kapitalwert- und Annuitätenmethode bei einer Einzelinvestition je unterschiedliche Vorteilhaftigkeitsurteile? → Nein. Da a = C₀ · KWF und KWF > 0, haben a und C₀ immer dasselbe Vorzeichen; die Ja/Nein-Entscheidung ist identisch. Unterschiede ergeben sich nur bei Vergleichen mit ungleicher Laufzeit.

WARUM: Rohleder testet hier das feine Verständnis, dass beide Verfahren bei Einzelinvestitionen äquivalent sind und die Annuität nur bei unterschiedlicher Nutzungsdauer echten Mehrwert bringt — eine beliebte Verständnisfalle.

31 Interner Zinssatz (Interne Zinsfußmethode)

31.1 Verfahren und Einschränkungen

#12 Was ist der interne Zinssatz, und wie wird er ermittelt?

ANTWORT: Der interne Zinssatz (Internal Rate of Return, IRR; interner Zinsfuß r) ist derjenige Kalkulationszins, bei dem der Kapitalwert der Investition genau null wird. Er gibt die effektive Verzinsung des jeweils gebundenen Kapitals an.

Bestimmungsgleichung:

C₀(r) = − I₀ + Σ_{t=1}^{n} [ CFₜ / (1 + r)ᵗ ] = 0

Symbole: r = interner Zinssatz; übrige wie bei #07.

Ermittlung:

Bei mehrperiodigen Zahlungsreihen ist die Gleichung ein Polynom n-ten Grades in r und i. d. R. nicht analytisch geschlossen lösbar.
Praktisch über lineare Interpolation zwischen zwei Versuchszinssätzen i₁ (mit C₀ > 0) und i₂ (mit C₀ < 0):

r ≈ i₁ + C₀(i₁) · (i₂ − i₁) / (C₀(i₁) − C₀(i₂))
Im Tabellenkalkulationsprogramm über IKV() (interner Zinsfuß bei regelmäßigen Perioden) bzw. XINTZINSFUSS() (bei unregelmäßigen Zahlungsterminen).

Entscheidungsregel: Investition vorteilhaft, wenn r > i (interner Zinssatz größer als geforderter Kalkulationszins/WACC).

Rechenbeispiel (Interpolation): Zahlungsreihe mit C₀(10 %) = +168,30 und C₀(20 %) = −60,00 (illustrativ). r ≈ 0,10 + 168,30·(0,20 − 0,10)/(168,30 − (−60,00)) = 0,10 + 168,30·0,10/228,30 = 0,10 + 0,0737 = 0,1737 = ≈ 17,37 %. (Die lineare Interpolation ist eine Näherung: Da die Kapitalwertfunktion konvex fällt, liegt die Interpolationssehne oberhalb der Kurve; ihr Nulldurchgang liegt deshalb rechts von (bei einem höheren Zins als) dem der Kurve, sodass der interpolierte Wert den exakten internen Zinssatz tendenziell leicht überschätzt. Zahlenprobe mit konsistenten Stützstellen: Zahlungsreihe −1.000/500/500/400 hat C₀(10 %) = +168,30 und C₀(20 %) = −4,63; die Interpolation liefert 19,73 %, der exakte interne Zinssatz liegt bei 19,69 % — der interpolierte Wert ist also minimal zu hoch. Die Genauigkeit steigt, je enger i₁ und i₂ den Nulldurchgang einschließen.)

QUELLE: Bösch (2022), Kapitel Interner Zinssatz; Excel IKV()/XINTZINSFUSS() (OLAT-Arbeitsmappe).

VERWANDTE FRAGEN:

Schätzen Sie den internen Zinssatz per Interpolation: C₀(8 %) = +50, C₀(12 %) = −30. → r ≈ 0,08 + 50·(0,12 − 0,08)/(50 − (−30)) = 0,08 + 50·0,04/80 = 0,08 + 0,025 = 0,105 = ≈ 10,50 %.
Wie lautet die Entscheidungsregel der internen Zinsfußmethode und wie verhält sie sich zur Kapitalwertregel? → Annehmen, wenn r > Kalkulationszins i. Bei einer „normalen“ Investition (ein Vorzeichenwechsel: erst Auszahlung, dann Einzahlungen) ist diese Regel deckungsgleich mit der Kapitalwertregel (C₀ > 0 ⟺ r > i).

WARUM: Der IRR per Interpolation ist eine klassische Klausuraufgabe; Rohleder gibt zwei Kapitalwerte vor und lässt interpolieren — Formel und sauberes Einsetzen müssen sitzen.

31.2 Einschränkungen und Fallstricke

#13 Welche Probleme können bei der Anwendung der internen Zinsfußmethode auftreten?

ANTWORT:

Mehrdeutigkeit / mehrere interne Zinssätze: Bei Zahlungsreihen mit mehr als einem Vorzeichenwechsel (z. B. spätere Großauszahlung wie Rückbau/Sanierung) kann das Polynom mehrere reelle Nullstellen haben — es gibt dann mehrere interne Zinssätze oder gar keinen ökonomisch sinnvollen. Die eindeutige Interpretation entfällt.
Wiederanlageprämisse: Die IRR-Methode unterstellt implizit, dass zwischenzeitliche Rückflüsse zum internen Zinssatz wiederangelegt werden. Bei hohem r ist das unrealistisch (die Kapitalwertmethode unterstellt realistischer Wiederanlage zum Kalkulationszins i).
Fehlerhafte Rangfolge bei Alternativenvergleich: Bei sich gegenseitig ausschließenden Projekten kann die IRR-Rangfolge der Kapitalwert-Rangfolge widersprechen (wegen unterschiedlicher Projektgröße/-laufzeit; vgl. Fisher-Schnittpunkt #09). Maßgeblich für die Vermögensmaximierung ist der Kapitalwert.
Keine geschlossene Lösung / Iteration nötig: r muss näherungsweise (Interpolation, numerisch) bestimmt werden.
Größenproblem (Skala): Ein hoher Prozentsatz auf kleinen Kapitaleinsatz kann einem niedrigeren Prozentsatz auf großem Einsatz unterlegen sein (absoluter Wertbeitrag), was der IRR als reine Verhältniszahl nicht zeigt.

Fazit: Bei sauberer Investitionsentscheidung hat die Kapitalwertmethode Vorrang; der interne Zinssatz ist als ergänzende Renditekennzahl nützlich, aber mit den genannten Vorbehalten.

QUELLE: Bösch (2022), Abschnitt Einschränkungen interner Zinsfuß; Lehrbuchwissen Wiederanlageprämisse / multiple IRR.

VERWANDTE FRAGEN:

Warum kann eine Zahlungsreihe mehrere interne Zinssätze besitzen? → Nach der Vorzeichenregel von Descartes ist die Zahl der positiven reellen Nullstellen des Kapitalwertpolynoms höchstens so groß wie die Zahl der Vorzeichenwechsel der Cashflows (und unterscheidet sich von ihr nur um eine gerade Zahl). Bei nur einem Vorzeichenwechsel (Normalinvestition) existiert genau eine positive Lösung; mehrere Vorzeichenwechsel ⇒ potenziell mehrere interne Zinssätze, und die Methode wird uneindeutig.
Worin unterscheidet sich die Wiederanlageprämisse von Kapitalwert- und interner Zinsfußmethode? → Kapitalwertmethode: Wiederanlage der Rückflüsse zum Kalkulationszins i (realistischer). Interne Zinsfußmethode: Wiederanlage zum internen Zinssatz r (bei hohem r unrealistisch) — Hauptkritikpunkt an der IRR.

WARUM: Prüft die Schwächen der IRR (multiple IRR, Wiederanlage, Rangfolgekonflikt) — Rohleders Lieblings-„Warum ist der Kapitalwert überlegen?“-Frage; reine Formelkenntnis genügt hier nicht.

Dynamische Amortisationszeit (Skript)

#14 Wie wird die dynamische Amortisationszeit (dynamische Amortisationsdauer) ermittelt?

ANTWORT: Die dynamische Amortisationszeit (Pay-off-/Pay-back-Periode, dynamisch; t*) ist der Zeitpunkt, zu dem die kumulierten abgezinsten (Barwert-)Rückflüsse die Anschaffungsauszahlung erstmals decken — d. h. der kumulierte Kapitalwert von negativ auf null/positiv wechselt.

Vorgehen:

Für jede Periode den Barwert des Cashflows berechnen: CFₜ /(1 + i)ᵗ.
Diese Barwerte fortlaufend kumulieren (beginnend mit −I₀).
Die dynamische Amortisationszeit ist die Periode, in der die kumulierte Summe ≥ 0 wird.
Für einen unterjährigen Wert wird innerhalb der Periode linear interpoliert:

t ≈ (Jahr vor Deckung) + |kumulierter Barwert am Ende dieses Jahres| / (Barwert des Cashflows im Folgejahr)*

Symbole: t* = dynamische Amortisationszeit; übrige wie #07.

Rechenbeispiel: I₀ = 1.000; CF₁,₂,₃ = 500, 500, 400; i = 10 % (Barwerte aus #07: 454,55; 413,22; 300,53).

Kumuliert nach Jahr 1: −1.000 + 454,55 = −545,45
nach Jahr 2: −545,45 + 413,22 = −132,23
nach Jahr 3: −132,23 + 300,53 = +168,30 → Deckung im Jahr 3.
Interpolation: t* ≈ 2 + 132,23/300,53 = 2 + 0,44 = 2,44 Jahre.

Die dynamische Amortisationszeit ist stets länger als die statische (weil abgezinste Rückflüsse kleiner sind als die nominalen).

QUELLE: Skript Dynamische Amortisationszeit; methodisch Bösch (2022), dynamische Amortisationsrechnung.

VERWANDTE FRAGEN:

Warum ist die dynamische Amortisationszeit länger als die statische? → Weil die Rückflüsse vor der Kumulation abgezinst werden und damit geringere (Bar-)Werte haben; es dauert länger, bis die abgezinsten Rückflüsse die Anschaffungsauszahlung decken.
Bestimmen Sie die dynamische Amortisationszeit: I₀ = 600, Barwerte der Rückflüsse 250 (J1), 250 (J2), 250 (J3). → Kumuliert: J1 = −350; J2 = −100; J3 = +150 → Deckung in J3. Interpolation: t* ≈ 2 + 100/250 = 2,40 Jahre.

WARUM: Die dynamische Amortisation kombiniert Diskontierung + Kumulation + Interpolation — ein beliebter mehrstufiger Rechenschritt; die Konvention (Periodenende, lineare Interpolation) muss der Vorlesung entsprechen.

#15 Wie ist die dynamische Amortisationszeit zu interpretieren?

ANTWORT: Die dynamische Amortisationszeit gibt an, nach welcher Zeit sich die Investition unter Berücksichtigung des Zeitwerts des Geldes zurückgezahlt hat — also wann das eingesetzte Kapital inklusive der geforderten Verzinsung zurückgeflossen ist.

Interpretation als Risiko-/Liquiditätskennzahl:

Eine kürzere dynamische Amortisationszeit bedeutet, dass das Kapital schneller (verzinst) zurückgewonnen wird → geringeres Risiko (z. B. Veralterung, Prognoseunsicherheit, Kapitalbindung).
Sie misst NICHT die Rentabilität/den Gesamterfolg, sondern nur die Kapitalrückflussdauer.

Grenzen: Die Amortisationsrechnung ignoriert alle Zahlungen nach dem Amortisationszeitpunkt und ist daher kein vollständiges Vorteilhaftigkeitskriterium. Sie sollte nur ergänzend zur Kapitalwertmethode verwendet werden (z. B. als Nebenbedingung „Amortisation innerhalb von x Jahren“). Ein Projekt mit kurzer Amortisation kann insgesamt einen niedrigeren Kapitalwert haben als eines mit längerer.

QUELLE: Skript Dynamische Amortisationszeit; Bösch (2022), Amortisationsrechnung.

VERWANDTE FRAGEN:

Warum ist die Amortisationszeit allein kein hinreichendes Investitionskriterium? → Weil sie Zahlungen nach dem Amortisationszeitpunkt vollständig ausblendet und damit die Gesamtrentabilität (Kapitalwert über die volle Nutzungsdauer) nicht erfasst. Sie ist ein Risiko-/Liquiditätsmaß, kein Erfolgsmaß.
Wofür wird die dynamische Amortisationszeit in der Praxis typischerweise eingesetzt? → Als ergänzendes Risikokriterium / Nebenbedingung (Mindest-Rückflussgeschwindigkeit), besonders bei unsicheren, technologie- oder konjunkturabhängigen Projekten, bei denen schnelle Kapitalrückgewinnung gewünscht ist.

WARUM: Rohleder fragt gern nach den Grenzen der Amortisationsrechnung („Warum kein vollwertiges Kriterium?“) — Verständnis von Risiko- vs. Rentabilitätskennzahl wird geprüft.

Dynamische Investitionsrechnung: Übungen — Tabellenblattfunktionen

Hinweis: Die Übungsaufgaben 1–4 sind laut Dossier ausschließlich in der OLAT-Arbeitsmappe zu bearbeiten und dort hochzuladen. Konkrete Aufgabenstellungen/Zahlen liegen hier nicht vor (siehe Sammelnotiz oben). Untenstehend nur die Funktions-Steckbriefe als Lernhilfe.

Lernziel: sicherer Umgang mit den Excel-/Tabellenfunktionen (Funktionsweise, deutsche Funktionsnamen):

Funktion	Zweck	Besonderheit
NBW(Zins; Wert1; Wert2; …)	Nettobarwert (NPV) bei regelmäßigen Perioden	Achtung: NBW zinst den ersten Wert bereits eine Periode ab! Die Anschaffungsauszahlung I₀ in t = 0 daher außerhalb addieren: `= -I0 + NBW(i; CF1:CFn)`.
XKAPITALWERT(Zins; Werte; Datumsangaben)	Kapitalwert bei unregelmäßigen Zahlungsterminen	nutzt konkrete Datumswerte (taggenaue Abzinsung).
IKV(Werte; [Schätzwert])	Interner Zinsfuß (IRR) bei regelmäßigen Perioden	benötigt mind. einen Vorzeichenwechsel; iterativ, optional Startschätzwert.
XINTZINSFUSS(Werte; Datumsangaben; [Schätzwert])	Interner Zinsfuß bei unregelmäßigen Terminen	datumsbasiertes Gegenstück zu IKV.
RMZ(Zins; Zzr; Bw; [Zw]; [F])	Regelmäßige Zahlung / Annuität	Bw = Barwert (z. B. Kapitalwert), Zzr = Perioden n, F = 0 nachschüssig / 1 vorschüssig.

QUELLE: OLAT-Arbeitsmappe (FINA, Modul F); Microsoft-Excel-Funktionsdokumentation (support.microsoft.com, Funktionen NBW, XKAPITALWERT, IKV, XINTZINSFUSS, RMZ).

VERWANDTE FRAGEN:

Warum muss bei NBW() die Anschaffungsauszahlung gesondert behandelt werden? → Weil NBW() unterstellt, dass der erste übergebene Wert am Ende der ersten Periode anfällt und ihn bereits einmal abzinst. Die Auszahlung in t = 0 darf nicht abgezinst werden und wird deshalb separat (un-diskontiert) zum NBW-Ergebnis addiert.
Wann verwendet man XKAPITALWERT/XINTZINSFUSS statt NBW/IKV? → Wenn die Zahlungen zu unregelmäßigen Zeitpunkten (konkrete Kalenderdaten, ungleiche Abstände) anfallen; die X-Funktionen zinsen taggenau auf Basis der Datumsangaben ab, während NBW/IKV gleiche Periodenlängen voraussetzen.

WARUM: Das Lernziel nennt explizit „sicherer Umgang mit den Tabellenfunktionen“ — die NBW-t=0-Falle und die Unterscheidung regelmäßig (NBW/IKV) ↔︎ unregelmäßig (X-Funktionen) sind genau die Punkte, an denen in Klausur/OLAT Fehler passieren.

4 Klärungsbedarf und offene Fragen

(persönlich — selbst ausfüllen)

Priorisierung (#01–#32, Endziffern 0–3 nach Vorgabe: 0 = alles klar, 1 = Detail-Klärungsbedarf, 2 = Klärungsbedarf, 3 = völlig unklar) sowie konkrete eigene Rückfragen bitte selbst eintragen.

Hinweis: Die Fragenummern #20–#24 und #30–#32 aus der Priorisierungsliste haben im Aufgabenteil dieses Dossiers keine zugehörigen, ausformulierten Lernkontrollfragen — vermutlich Verweis auf weitere Skript-/Übungsinhalte (Zuordnung siehe Sammelnotiz oben).

5 Vorschläge, Wünsche und Anregungen

(persönlich — selbst ausfüllen)

Sonstige Frage: …
Hinweis (z. B. toter Link): …
Bitte: …
Vorschlag: …
Lob: …
Kritik: …

Quellen (Sachquellen):

Bösch, Martin: Finanzwirtschaft. Investition, Finanzierung, Finanzmärkte und Steuerung, 5. Auflage, München: Vahlen 2022 (Leitquelle des Dossiers; Tabellen-/Seitenverweise wie F-4/S. 300 am Buch verifizieren).
Microsoft-Support: Dokumentation der Tabellenfunktionen NBW, XKAPITALWERT, IKV, XINTZINSFUSS, RMZ (support.microsoft.com).
Begleitender KI-Dialog (kein Sachbeleg, nur Erstellungs-Nachweis): https://chatgpt.com/share/68ca7a93-f2f4-8003-980a-6bcefbd76069 — inhaltlich am Lehrbuch zu verifizieren.
Allgemeines Lehrbuchwissen zur dynamischen Investitionsrechnung (Zeitwert des Geldes, WACC, Kapitalwert, Annuität, interner Zinsfuß, Amortisation).

Erstellt mit Unterstützung generativer KI (Claude/Anthropic), eigenständig zu überarbeiten. Sachquellen siehe oben.